En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , un núcleo es cualquiera de ciertos subgrupos normales especiales de un grupo . Los dos tipos más comunes son el núcleo normal de un subgrupo y el p -núcleo de un grupo.
Para un grupo G , el núcleo normal o interior normal [1] de un subgrupo H es el subgrupo normal más grande de G que está contenido en H (o equivalentemente, la intersección de los conjugados de H ). De manera más general, el núcleo de H con respecto a un subconjunto S ⊆ G es la intersección de los conjugados de H bajo S , es decir
Según esta definición más general, el núcleo normal es el núcleo con respecto a S = G. El núcleo normal de cualquier subgrupo normal es el subgrupo mismo.
Los núcleos normales son importantes en el contexto de acciones grupales sobre conjuntos , donde el núcleo normal del subgrupo de isotropía de cualquier punto actúa como identidad en toda su órbita . Por lo tanto, en caso de que la acción sea transitiva , el núcleo normal de cualquier subgrupo de isotropía es precisamente el núcleo de la acción.
Un subgrupo sin núcleo es un subgrupo cuyo núcleo normal es el subgrupo trivial . Equivalentemente, es un subgrupo que se presenta como el subgrupo de isotropía de una acción grupal transitiva y fiel .
La solución del problema del subgrupo oculto en el caso abeliano se generaliza para encontrar el núcleo normal en el caso de subgrupos de grupos arbitrarios.
En esta sección G denotará un grupo finito , aunque algunos aspectos se generalizan a grupos localmente finitos y a grupos profinitos .
Para un primo p , el p -núcleo de un grupo finito se define como su p -subgrupo normal más grande . Es el núcleo normal de cada p-subgrupo de Sylow del grupo. El p -núcleo de G a menudo se denota , y en particular aparece en una de las definiciones del subgrupo de ajuste de un grupo finito . De manera similar, el p ′-núcleo es el subgrupo normal más grande de G cuyo orden es coprimo con p y se denota . En el área de grupos insolubles finitos, incluida la clasificación de grupos simples finitos , el 2′-núcleo a menudo se llama simplemente el núcleo y se denota . Esto causa solo una pequeña cantidad de confusión, porque generalmente se puede distinguir entre el núcleo de un grupo y el núcleo de un subgrupo dentro de un grupo. El p ′, p -núcleo , denotado se define por . Para un grupo finito, el p ′, p -núcleo es el único subgrupo p -nilpotente normal más grande.
El núcleo p también puede definirse como el único subgrupo p subnormal más grande ; el núcleo p ′ como el único subgrupo p ′ subnormal más grande ; y el núcleo p ′, p como el único subgrupo p -nilpotente subnormal más grande.
Los núcleos p ′ y p ′, p comienzan la serie p superior . Para los conjuntos π 1 , π 2 , ..., π n +1 de primos, se definen subgrupos O π 1 , π 2 , ..., π n +1 ( G ) por:
La p -serie superior se forma tomando π 2 i −1 = p ′ y π 2 i = p; también hay una p -serie inferior . Se dice que un grupo finito es p -nilpotente si y solo si es igual a su propio p ′, p -núcleo. Se dice que un grupo finito es p -soluble si y solo si es igual a algún término de su p -serie superior; su p -longitud es la longitud de su p -serie superior. Se dice que un grupo finito G está p-restringido para un primo p si .
Todo grupo nilpotente es p -nilpotente, y todo grupo p -nilpotente es p -soluble. Todo grupo soluble es p -soluble, y todo grupo p -soluble está p -constreñido. Un grupo es p -nilpotente si y solo si tiene un complemento p normal , que es simplemente su núcleo p ′.
Así como los núcleos normales son importantes para las acciones de grupo sobre conjuntos, los p -núcleos y p′ -núcleos son importantes en la teoría de representación modular , que estudia las acciones de grupos sobre espacios vectoriales . El p -núcleo de un grupo finito es la intersección de los núcleos de las representaciones irreducibles sobre cualquier cuerpo de característica p . Para un grupo finito, el p′ -núcleo es la intersección de los núcleos de las representaciones irreducibles ordinarias (complejas) que se encuentran en el p -bloque principal. Para un grupo finito, el p ′, p -núcleo es la intersección de los núcleos de las representaciones irreducibles en el p -bloque principal sobre cualquier cuerpo de característica p . Además, para un grupo finito, el p ′, p -núcleo es la intersección de los centralizadores de los factores principales abelianos cuyo orden es divisible por p (todos los cuales son representaciones irreducibles sobre un cuerpo de tamaño p que se encuentra en el bloque principal). Para un grupo finito, p -restringido, un módulo irreducible sobre un cuerpo de característica p se encuentra en el bloque principal si y sólo si el núcleo p ′ del grupo está contenido en el núcleo de la representación.
Un subgrupo relacionado en concepto y notación es el radical resoluble. El radical resoluble se define como el subgrupo normal resoluble más grande y se denota . Hay cierta variación en la literatura a la hora de definir el núcleo p ′ de G . Unos pocos autores en solo unos pocos artículos (por ejemplo, los artículos de John G. Thompson sobre el grupo N, pero no su trabajo posterior) definen el núcleo p ′ de un grupo insoluble G como el núcleo p ′ de su radical resoluble para imitar mejor las propiedades del núcleo 2′.
