Isogenia

Tipo de mapa entre grupos algebraicos

En matemáticas, particularmente en geometría algebraica, una isogenia es un morfismo de grupos algebraicos (también conocidos como variedades de grupos) que es sobreyectivo y tiene un núcleo finito .

Si los grupos son variedades abelianas , entonces cualquier morfismo f  :  A  →  B de las variedades algebraicas subyacentes que sea sobreyectivo con fibras finitas es automáticamente una isogenia, siempre que f (1 _A ) = 1 _B . Una isogenia de este tipo f proporciona entonces un homomorfismo de grupo entre los grupos de puntos de valor k de A y B , para cualquier cuerpo k sobre el que f esté definido.

Los términos "isogenia" e "isógeno" provienen de la palabra griega ισογενη-ς, que significa "igual en especie o naturaleza". El término "isogenia" fue introducido por Weil ; antes de esto, el término "isomorfismo" se usaba de manera un tanto confusa para lo que ahora se llama isogenia.

Grado de isogenia

Sea f  :  A  →  B la isogenia entre dos grupos algebraicos. Esta aplicación induce una aplicación de pullback f*  :  K(B)  →  K(A) entre sus cuerpos de funciones racionales. Como la aplicación no es trivial, es una incrustación de cuerpos y es un subcuerpo de K(A) . El grado de extensión K(A) \im f* se llama grado de isogenia: ${\displaystyle imf^{*}}$

${\displaystyle \deg f:=[K(A):imf^{*}]}$

Propiedades del grado:

• Si , son isogenias de grupos algebraicos, entonces: ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$ ${\displaystyle \deg(g\circ f)=\deg g\cdot \deg f}$
• Si , entonces ${\displaystyle char\;K\nmid \deg f}$ ${\displaystyle \deg f=|ker\;f|}$

Caso de variedades abelianas

Las curvas elípticas isógenas a E se pueden obtener cociente E por subgrupos finitos, aquí subgrupos del subgrupo de 4-torsiones.

Para las variedades abelianas , como las curvas elípticas , esta noción también puede formularse de la siguiente manera:

Sean E ₁ y E ₂ variedades abelianas de la misma dimensión sobre un cuerpo k . Una isogenia entre E ₁ y E ₂ es un morfismo denso f  :  E ₁  →  E ₂ de variedades que preserva los puntos base (es decir, f mapea el punto identidad en E ₁ al de E ₂ ).

Esto es equivalente a la noción anterior, ya que cada morfismo denso entre dos variedades abelianas de la misma dimensión es automáticamente sobreyectivo con fibras finitas, y si preserva identidades entonces es un homomorfismo de grupos.

Dos variedades abelianas E ₁ y E ₂ se denominan isógenas si existe una isogenia E ₁  →  E ₂ . Se puede demostrar que se trata de una relación de equivalencia; en el caso de las curvas elípticas, la simetría se debe a la existencia de la isogenia dual . Como se indicó anteriormente, toda isogenia induce homomorfismos de los grupos de los puntos de valor k de las variedades abelianas.

Véase también

• Variedades abelianas hasta la isogenia
• Grupo Selmer

Referencias

Enlaces externos

• Lang, Serge (1983). Variedades abelianas . Springer Verlag. ISBN 3-540-90875-7.
• Mumford, David (1974). Variedades abelianas . Oxford University Press. ISBN 0-19-560528-4.