En geometría aritmética , el grupo Selmer , llamado así en honor al trabajo de Ernst Sejersted Selmer (1951) por John William Scott Cassels (1962), es un grupo construido a partir de una isogenia de variedades abelianas .
El grupo Selmer de una variedad abeliana A con respecto a una isogenia f : A → B de variedades abelianas se puede definir en términos de cohomología de Galois como
donde A v [ f ] denota la f - torsión de A v y es la función local de Kummer . Nótese que es isomorfo a . Geométricamente, los espacios homogéneos principales que provienen de elementos del grupo de Selmer tienen K v -puntos racionales para todos los lugares v de K . El grupo de Selmer es finito. Esto implica que la parte del grupo de Tate-Shafarevich eliminada por f es finita debido a la siguiente secuencia exacta
El grupo de Selmer en el medio de esta secuencia exacta es finito y efectivamente computable. Esto implica el teorema débil de Mordell-Weil de que su subgrupo B ( K )/ f ( A ( K )) es finito. Hay un problema notorio sobre si este subgrupo puede calcularse efectivamente: hay un procedimiento para calcularlo que terminará con la respuesta correcta si hay algún primo p tal que el componente p del grupo de Tate-Shafarevich sea finito. Se conjetura que el grupo de Tate-Shafarevich es de hecho finito, en cuyo caso cualquier primo p funcionaría. Sin embargo, si (como parece improbable) el grupo de Tate-Shafarevich tiene un componente p infinito para cada primo p , entonces el procedimiento puede no terminar nunca.
Ralph Greenberg (1994) ha generalizado la noción de grupo de Selmer a representaciones de Galois p -ádicas más generales y a variaciones p -ádicas de motivos en el contexto de la teoría de Iwasawa .
De manera más general, se puede definir el grupo de Selmer de un módulo de Galois finito M (tal como el núcleo de una isogenia) como los elementos de H 1 ( G K , M ) que tienen imágenes dentro de ciertos subgrupos dados de H 1 ( G K v , M ).
![{\displaystyle \operatorname {Sel} ^{(f)}(A/K)=\bigcap _{v}\ker(H^{1}(G_{K},\ker(f))\rightarrow H^ {1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])/\operatorname {im} (\kappa _{v}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4329c680d5e243b954d7e847077c28ce030c80)
![{\displaystyle B_{v}(K_{v})/f(A_{v}(K_{v}))\rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f] )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b583e5fef6574b1c261377964668b66489ccc45)
![{\displaystyle H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])/\operatorname {im} (\kappa _{v})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a2c184f892c5f192c819201f88225896d0ee0c)
![{\displaystyle H^{1}(G_{K_{v}},A_{v})[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ccb9654ebd3a9934eeda733e6bf7cb23b44171)