Grupo Tate-Shafarevich

En geometría aritmética , el grupo Tate-Shafarevich $Ш(A / K)$ de una variedad abeliana $A$ (o más generalmente un esquema de grupo ) definido sobre un campo numérico $K$ consta de los elementos del grupo Weil-Châtelet , donde está el Galois absoluto grupo de $K$ , que se vuelven triviales en todas las terminaciones de $K$ (es decir, las terminaciones reales y complejas así como los campos p -ádicos obtenidos de $K$ completando con respecto a todas sus valoraciones arquimedianas y no arquimedianas $v$ ). Así, en términos de cohomología de Galois , $Ш($ $A$ $/$ $K$ $)$ puede definirse como $\mathrm {WC} (A/K)=H^{1}(G_{K},A)$ $G_{K}=\mathrm {Gal} (K^{alg}/K)$

\bigcap _{v}\mathrm {ker} \left(H^{1}\left(G_{K},A\right)\rightarrow H^{1}\left(G_{K_{v} },A_{v}\derecha)\derecha).

Este grupo fue presentado por Serge Lang y John Tate ^[1] e Igor Shafarevich . ^[2] Cassels introdujo la notación $Ш(A / K)$ , donde $Ш$ es la letra cirílica " Sha ", para Shafarevich, reemplazando la notación más antigua $TS$ o $TŠ$ .

Elementos del grupo Tate-Shafarevich

Geométricamente, los elementos no triviales del grupo Tate-Shafarevich pueden considerarse como espacios homogéneos de $A$ que tienen $K v$ - puntos racionales para cada lugar $v$ de $K$ , pero ningún $K$ -punto racional. Por lo tanto, el grupo mide hasta qué punto el principio de Hasse no se cumple para ecuaciones racionales con coeficientes en el campo $K.$ Carl-Erik Lind dio un ejemplo de un espacio tan homogéneo, mostrando que la curva de género 1 $x 4 - 17 = 2 y 2$ tiene soluciones sobre los reales y sobre todos los campos $p$ -ádicos, pero no tiene puntos racionales. ^[3] Ernst S. Selmer dio muchos más ejemplos, como $3 x 3 + 4 y 3 + 5 z 3 = 0$ . ^[4]

El caso especial del grupo de Tate-Shafarevich para el esquema de grupo finito que consta de puntos de algún orden finito $n$ dado de una variedad abeliana está estrechamente relacionado con el grupo de Selmer .

Conjetura de Tate-Shafarevich

La conjetura de Tate-Shafarevich establece que el grupo de Tate-Shafarevich es finito. Karl Rubin demostró esto para algunas curvas elípticas de rango como máximo 1 con multiplicación compleja . ^[5] Victor A. Kolyvagin extendió esto a curvas elípticas modulares sobre los racionales de rango analítico como máximo 1 (el teorema de modularidad demostró más tarde que el supuesto de modularidad siempre se cumple). ^[6]

Maridaje Cassels-Tate

El emparejamiento Cassels-Tate es un emparejamiento bilineal $Ш(A) \times Ш(Â) \to Q / Z$ , donde $A$ es una variedad abeliana y $Â$ es su dual. Cassels introdujo esto para las curvas elípticas , cuando $A$ se puede identificar con $Â$ y el emparejamiento es una forma alterna. ^[7] El núcleo de esta forma es el subgrupo de elementos divisibles, lo cual es trivial si la conjetura de Tate-Shafarevich es cierta. Tate extendió el emparejamiento a variedades abelianas generales, como una variación de la dualidad de Tate . ^[8] Una elección de polarización en A proporciona un mapa de $A$ a $Â$ , lo que induce un emparejamiento bilineal en $Ш(A)$ con valores en $Q / Z$ , pero a diferencia del caso de las curvas elípticas, esto no necesita ser alternado o incluso sesgado simétrico. .

Para una curva elíptica, Cassels demostró que el emparejamiento es alterno y una consecuencia es que si el orden de $Ш$ es finito entonces es un cuadrado. Para las variedades abelianas más generales, durante muchos años a veces se creyó incorrectamente que el orden de $Ш$ es un cuadrado siempre que sea finito; Este error se originó en un artículo de Swinnerton-Dyer, ^[9] quien citó erróneamente uno de los resultados de Tate. ^[8] Poonen y Stoll dieron algunos ejemplos donde el orden es el doble de un cuadrado, como la curva jacobiana de cierto género 2 sobre los racionales cuyo grupo Tate-Shafarevich tiene orden 2, ^[10] y Stein dio algunos ejemplos donde el poder de un primo impar que divide el orden es impar. ^[11] Si la variedad abeliana tiene una polarización principal entonces la forma en $Ш$ es simétrica sesgada lo que implica que el orden de $Ш$ es un cuadrado o dos veces un cuadrado (si es finito), y si además la polarización principal proviene de una divisor racional (como es el caso de las curvas elípticas), entonces la forma es alterna y el orden de $Ш$ es un cuadrado (si es finito).

Ver también

Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Citas

^ Lang y Tate 1958.
^ Shafarevich 1959.
^ Lind 1940.
^ Selmer 1951.
^ Rubin 1987.
^ Kolyvagin 1988.
^ Cassels 1962.
^ ab Tate 1963.
^ Swinnerton-Dyer 1967.
^ Poonen y Stoll 1999.
^ Stein 2004.

Referencias

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Cassels, John William Scott (1962b), "Aritmética en curvas de género 1. IV. Prueba de la Hauptvermutung", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 211 (211): 95–112, doi :10.1515/crll.1962.211. 95, ISSN 0075-4102, SEÑOR 0163915
Cassels, John William Scott (1991), Conferencias sobre curvas elípticas, Textos para estudiantes de la London Mathematical Society, vol. 24, Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9781139172530, ISBN 978-0-521-41517-0, señor 1144763
Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Geometría diofántica: una introducción , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 201, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98981-5
Greenberg, Ralph (1994), "Teoría de Iwasawa y deformación p-ádica de motivos", en Serre, Jean-Pierre ; Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven L. (eds.), Motivos , Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-1637-0
Kolyvagin, VA (1988), "Finitud de E(Q) y SH(E,Q) para una subclase de curvas de Weil", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 52 (3): 522–540, 670–671, ISSN 0373-2436, 954295
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Lind, Carl-Erik (1940). Untersuchungen über die racionalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins (Tesis). vol. 1940. Universidad de Upsala. 97 págs. SEÑOR 0022563.
Poonen, Bjorn; Stoll, Michael (1999), "El emparejamiento Cassels-Tate sobre variedades abelianas polarizadas", Annals of Mathematics , Segunda serie, 150 (3): 1109–1149, arXiv : math/9911267 , doi :10.2307/121064, ISSN 0003- 486X, JSTOR 121064, SEÑOR 1740984
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