Variedad abeliana dual

En matemáticas , una variedad abeliana dual se puede definir a partir de una variedad abeliana A , definida sobre un campo k . Una variedad abeliana unidimensional es una curva elíptica , y cada curva elíptica es isomorfa a su dual, pero esto falla para las variedades abelianas de dimensiones superiores, por lo que el concepto de dual se vuelve más interesante en dimensiones superiores.

Definición

Sea A una variedad abeliana sobre un campo k . Definimos como el subgrupo que consta de paquetes de líneas L tal que , donde están los mapas de multiplicación y proyección respectivamente. Un elemento de se llama paquete de líneas de grado 0 en A. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Pic} ^{0}(A)\subset \operatorname {Pic} (A)}$ ${\displaystyle m^{*}L\cong p^{*}L\otimes q^{*}L}$ ${\displaystyle m,p,q}$ ${\displaystyle A\times _{k}A\to A}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} ^{0}(A)}$

A A se le asocia entonces una variedad abeliana dual A ^v (sobre el mismo campo), que es la solución al siguiente problema de módulos . Una familia de haces de líneas de grado 0 parametrizados por una k -variedad T se define como un haz de líneas L en A × T tal que

1. para todos , la restricción de L a A ×{ t } es un paquete de líneas de grado 0, ${\displaystyle t\in T}$
2. la restricción de L a {0}× T es un paquete de líneas trivial (aquí 0 es la identidad de A ).

Luego hay una variedad A ^v y un paquete de líneas , llamado paquete de Poincaré, que es una familia de paquetes de líneas de grado 0 parametrizados por A ^v en el sentido de la definición anterior. ^[2] Además, esta familia es universal, es decir, a cualquier familia L parametrizada por T se le asocia un morfismo único f : T → A ^v de modo que L es isomorfo al retroceso de P a lo largo del morfismo 1 _A × f : A × T → A × A ^v . Aplicando esto al caso en el que T es un punto, vemos que los puntos de A ^v corresponden a haces de líneas de grado 0 en A , por lo que hay una operación de grupo natural en A ^v dada por el producto tensorial de haces de líneas, lo que hace que en una variedad abeliana. ${\displaystyle P\to A\times A^{\vee }}$

En el lenguaje de functores representables se puede expresar el resultado anterior de la siguiente manera. El funtor contravariante, que asocia a cada k -variedad T el conjunto de familias de haces de líneas de grado 0 parametrizados por T y a cada k -morfismo f : T → T' el mapeo inducido por el retroceso con f , es representable. El elemento universal que representa este funtor es el par ( A ^v , P ).

Esta asociación es una dualidad en el sentido de que existe un isomorfismo natural entre el doble dual A ^vv y A (definido a través del haz de Poincaré) y que es functorial contravariante , es decir, se asocia a todos los morfismos f : A → B morfismos duales f ^v : B ^v → A ^v de forma compatible. La n -torsión de una variedad abeliana y la n -torsión de su dual son duales entre sí cuando n es coprimo con la característica de la base. En general, para todos los n , los esquemas de grupos de torsión n de las variedades abelianas duales son duales de Cartier entre sí. Esto generaliza el emparejamiento de Weil para curvas elípticas.

Historia

La teoría adquirió buena forma por primera vez cuando K era el cuerpo de números complejos . En ese caso existe una forma general de dualidad entre la variedad albanesa de una variedad completa V , y su variedad Picard ; esto se comprendió, para las definiciones en términos de toros complejos , tan pronto como André Weil dio una definición general de la variedad albanesa. Para una variedad abeliana A , la variedad albanesa es la propia A , por lo que el dual debería ser Pic ⁰ ( A ), el componente conectado del elemento de identidad de lo que en la terminología contemporánea es el esquema Picard .

Para el caso de la variedad jacobiana J de una superficie compacta de Riemann C , la elección de una polarización principal de J da lugar a una identificación de J con su propia variedad Picard. En cierto sentido, esto es sólo una consecuencia del teorema de Abel . Para las variedades abelianas generales, aún sobre los números complejos, A está en la misma clase de isogenia que su dual. Se puede construir una isogenia explícita mediante el uso de un haz invertible L en A (es decir, en este caso un haz de líneas holomorfas ), cuando el subgrupo

K ( L )

de traducciones en L que toman L en una copia isomórfica es en sí misma finita. En ese caso, el cociente

A / K ( L )

es isomorfo a la variedad abeliana dual .

Esta construcción de  se extiende a cualquier campo K de característica cero . ^[3] En términos de esta definición, el paquete de Poincaré , un paquete de líneas universal se puede definir en

A × .​

La construcción cuando K tiene la característica p utiliza la teoría de esquemas . La definición de K ( L ) tiene que ser en términos de un esquema de grupo que sea un estabilizador teórico de esquema , y ​​el cociente tomado es ahora un cociente de un esquema de subgrupo. ^[4]

La isogenia dual

Sea una isogenia de variedades abelianas. (Es decir, es finito a uno y sobreyectivo). Construiremos una isogenia usando la descripción funcional de , que dice que los datos de un mapa son lo mismo que dar una familia de paquetes de líneas de grado cero en , parametrizados por . ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {B}}\to {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {B}}\to {\hat {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Para ello, considere la isogenia y dónde está el paquete de líneas de Poincaré para . Esta es entonces la familia requerida de haces de líneas de grado cero en . ${\displaystyle f\times 1_{\hat {B}}:A\times {\hat {B}}\to B\times {\hat {B}}}$ ${\displaystyle (f\times 1_{\hat {B}})^{*}P_{B}}$ ${\displaystyle P_{B}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Por la descripción funcional antes mencionada, existe entonces un morfismo tal que . Se puede demostrar usando esta descripción que este mapa es una isogenia del mismo grado que , y que . ^[5] ${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {B}}\to {\hat {A}}}$ ${\displaystyle ({\hat {f}}\times 1_{A})^{*}P_{A}\cong (f\times 1_{\hat {B}})^{*}P_{B}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {\hat {f}}}=f}$

Por tanto, obtenemos un endofunctor contravariante en la categoría de variedades abelianas que cuadra a la identidad. Este tipo de funtor suele denominarse funtor dualizador . ^[6]

Teorema de Mukai

Un célebre teorema de Mukai ^[7] establece que existe un isomorfismo de categorías derivadas , donde denota la categoría derivada acotada de haces coherentes en X. Históricamente, este fue el primer uso de la transformada de Fourier-Mukai y muestra que la categoría derivada acotada no necesariamente puede distinguir variedades no isomorfas. ${\displaystyle D^{b}(A)\cong D^{b}({\hat {A}})}$ ${\displaystyle D^{b}(X)}$

Recuerde que si X e Y son variedades y es un complejo de haces coherentes, definimos la transformada de Fourier-Mukai como la composición , donde p y q son las proyecciones sobre X e Y respectivamente. ${\displaystyle {\mathcal {K}}\in D^{b}(X\times Y)}$ ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {K}}^{X\to Y}:D^{b}(X)\to D^{b}(Y)}$ ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {K}}^{X\to Y}(\cdot )=Rq_{*}({\mathcal {K}}\otimes _{L}Lp^{*}(\cdot ))}$

Tenga en cuenta que es plano y, por lo tanto, exacto en el nivel de haces coherentes y, en las aplicaciones, suele ser un paquete de líneas, por lo que normalmente se pueden dejar los funtores derivados por la izquierda sin derivar en la expresión anterior. Tenga en cuenta también que se puede definir de manera análoga una transformada de Fourier-Mukai usando el mismo núcleo, simplemente intercambiando los mapas de proyección en la fórmula. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {K}}^{Y\to X}}$

El enunciado del teorema de Mukai es entonces el siguiente.

Teorema: Sea A una variedad abeliana de dimensión g y el paquete de líneas de Poincaré en . Entonces , donde está el mapa de inversión y es el functor de desplazamiento. En particular, es un isomorfismo. ^[8] ${\displaystyle P_{A}}$ ${\displaystyle A\times {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \Phi _{P_{A}}^{{\hat {A}}\to A}\circ \Phi _{P_{A}}^{A\to {\hat {A}}}\cong \iota ^{*}[-g]}$ ${\displaystyle \iota :A\to A}$ ${\displaystyle [-g]}$ ${\displaystyle \Phi _{P_{A}}^{A\to {\hat {A}}}}$

Notas

1. Milne, James S. Variedades abelianas (PDF) . págs. 35-36.
2. Milne, James S. Variedades abelianas (PDF) . pag. 36.
3. Mumford, Variedades abelianas , páginas 74-80
4. Mumford, Variedades abelianas , p.123 en adelante
5. Bhatt, Bhargav (2017). Variedades Abelianas (PDF) . pag. 38.
6. Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con miras a la goemetría algebraica . Springer-Verlag. pag. 521.ISBN​ 978-3-540-78122-6.
7. Mukai, Shigeru (1981). "Dualidad entre D(X) y D(\hat{X}) con su aplicación a las gavillas Picard". Matemáticas de Nagoya . 81 : 153-175.
8. Bhatt, Bhargav (2017). Variedades Abelianas (PDF) . pag. 43.

Referencias

• Milne, James S. (2008). Variedades Abelianas (v2.00) (PDF) .

• Mumford, David (1985). Variedades abelianas (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-560528-0.

• Bhatt, Bhargav (2017). Variedades Abelianas (PDF) .

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