En matemáticas, la dualidad de Cartier es análoga a la dualidad de Pontryagin para esquemas de grupos conmutativos. Fue introducida por Pierre Cartier (1962).
Dado cualquier esquema de grupo conmutativo plano finito G sobre S , su dual de Cartier es el grupo de caracteres, definido como el funtor que lleva cualquier esquema S T al grupo abeliano de homomorfismos de esquemas de grupo desde el cambio base a y cualquier mapa de esquemas S al mapa canónico de grupos de caracteres. Este funtor es representable por un esquema de grupo S plano finito, y la dualidad de Cartier forma una antiequivalencia involutiva aditiva desde la categoría de esquemas de grupo S plano finito conmutativo hacia sí misma. Si G es un esquema de grupo conmutativo constante, entonces su dual de Cartier es el grupo diagonalizable D ( G ), y viceversa. Si S es afín, entonces el funtor de dualidad está dado por la dualidad de las álgebras de Hopf de funciones.
Un esquema de grupo conmutativo finito sobre un cuerpo corresponde a un álgebra de Hopf conmutativa co-conmutativa de dimensión finita . La dualidad de Cartier corresponde a tomar el dual del álgebra de Hopf, intercambiando la multiplicación y la co-multiplicación.
La definición de dual de Cartier se extiende de manera útil a situaciones mucho más generales donde el funtor resultante en esquemas ya no se representa como un esquema de grupo. Los casos comunes incluyen haces fppf de grupos conmutativos sobre S y complejos de los mismos. Estos objetos geométricos más generales pueden ser útiles cuando se desea trabajar con categorías que tienen un buen comportamiento límite. Hay casos de abstracción intermedia, como grupos algebraicos conmutativos sobre un cuerpo, donde la dualidad de Cartier da una antiequivalencia con grupos formales afines conmutativos , por lo que si G es el grupo aditivo , entonces su dual de Cartier es el grupo formal multiplicativo , y si G es un toro, entonces su dual de Cartier es étale y libre de torsión. Para grupos de bucles de toros, la dualidad de Cartier define el símbolo domesticado en la teoría de campos de clase geométrica local . Gérard Laumon introdujo una transformada de Fourier teórica de haces para módulos cuasi coherentes sobre 1-motivos que se especializa en muchas de estas equivalencias. [1]
