En matemáticas, particularmente en geometría algebraica, una isogenia es un morfismo de grupos algebraicos (también conocidos como variedades de grupos) que es sobreyectivo y tiene un núcleo finito .
Si los grupos son variedades abelianas , entonces cualquier morfismo f : A → B de las variedades algebraicas subyacentes que sea sobreyectivo con fibras finitas es automáticamente una isogenia, siempre que f (1 A ) = 1 B . Una isogenia de este tipo f proporciona entonces un homomorfismo de grupo entre los grupos de puntos de valor k de A y B , para cualquier cuerpo k sobre el que f esté definido.
Los términos "isogenia" e "isógeno" provienen de la palabra griega ισογενη-ς, que significa "igual en especie o naturaleza". El término "isogenia" fue introducido por Weil ; antes de esto, el término "isomorfismo" se usaba de manera un tanto confusa para lo que ahora se llama isogenia.
Sea f : A → B la isogenia entre dos grupos algebraicos. Esta aplicación induce una aplicación de pullback f* : K(B) → K(A) entre sus cuerpos de funciones racionales. Como la aplicación no es trivial, es una incrustación de cuerpos y es un subcuerpo de K(A) . El grado de extensión K(A) \im f* se llama grado de isogenia:
Propiedades del grado:
Para las variedades abelianas , como las curvas elípticas , esta noción también puede formularse de la siguiente manera:
Sean E 1 y E 2 variedades abelianas de la misma dimensión sobre un cuerpo k . Una isogenia entre E 1 y E 2 es un morfismo denso f : E 1 → E 2 de variedades que preserva los puntos base (es decir, f mapea el punto identidad en E 1 al de E 2 ).
Esto es equivalente a la noción anterior, ya que cada morfismo denso entre dos variedades abelianas de la misma dimensión es automáticamente sobreyectivo con fibras finitas, y si preserva identidades entonces es un homomorfismo de grupos.
Dos variedades abelianas E 1 y E 2 se denominan isógenas si existe una isogenia E 1 → E 2 . Se puede demostrar que se trata de una relación de equivalencia; en el caso de las curvas elípticas, la simetría se debe a la existencia de la isogenia dual . Como se indicó anteriormente, toda isogenia induce homomorfismos de los grupos de los puntos de valor k de las variedades abelianas.
![{\displaystyle \deg f:=[K(A):imf^{*}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2620d372b17757cb6000f645e9b9fa591cda9b08)
