Gavilla invertible

Tipo de gavilla

En matemáticas , un haz invertible es un haz en un espacio anillado que tiene un inverso respecto del producto tensorial de haces de módulos . Es el equivalente en geometría algebraica de la noción topológica de fibrado lineal . Debido a sus interacciones con los divisores de Cartier , desempeñan un papel central en el estudio de las variedades algebraicas .

Definición

Sea ( X , O _X ) un espacio anillado. Las clases de isomorfismo de haces de O _X -módulos forman un monoide bajo la operación de producto tensorial de O _X -módulos. El elemento identidad para esta operación es el propio O _X. Los haces invertibles son los elementos invertibles de este monoide. Específicamente, si L es un haz de O _X -módulos, entonces L se llama invertible si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[1] [2]}

• Existe un haz M tal que . ${\displaystyle L\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}M\cong {\mathcal {O}}_{X}}$
• El homomorfismo natural es un isomorfismo, donde denota el haz dual . ${\displaystyle L\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{\vee }\to {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle L^{\vee }}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(L,{\mathcal {O}}_{X})}$
• El funtor de O _X -módulos a O _X -módulos definido por es una equivalencia de categorías. ${\displaystyle F\mapsto F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L}$

Todo haz localmente libre de rango uno es invertible. Si X es un espacio anillado localmente, entonces L es invertible si y solo si es localmente libre de rango uno. Debido a este hecho, los haces invertibles están estrechamente relacionados con los fibrados lineales , hasta el punto en que a veces se confunden ambos.

Ejemplos

Sea X un esquema afín Spec R . Entonces un haz invertible sobre X es el haz asociado a un módulo proyectivo de rango uno sobre R . Por ejemplo, esto incluye ideales fraccionarios de cuerpos de números algebraicos , ya que estos son módulos proyectivos de rango uno sobre los anillos de números enteros del cuerpo de números.

El grupo Picard

En términos generales, las clases de isomorfismo de haces invertibles en X forman un grupo abeliano bajo producto tensorial. Este grupo generaliza el grupo de clases ideal . En general se escribe

${\displaystyle \mathrm {Pic} (X)\ }$

con Pic el funtor de Picard . Dado que también incluye la teoría de la variedad jacobiana de una curva algebraica , el estudio de este funtor es un tema importante en la geometría algebraica.

La construcción directa de haces invertibles mediante datos sobre X conduce al concepto de divisor de Cartier .

Véase también

• Fibrados vectoriales en geometría algebraica
• Paquete de líneas
• Primera clase de Chern
• Grupo Picard
• Teorema de Birkhoff-Grothendieck

Referencias

1. EGA 0 _I , 5.4.
2. Proyecto Stacks, etiqueta 01CR, [1].

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi :10.1007/bf02684778. SEÑOR  0217083.