En matemáticas , un grupo simple es un grupo no trivial cuyos únicos subgrupos normales son el grupo trivial y el grupo mismo. Un grupo que no es simple se puede dividir en dos grupos más pequeños, a saber, un subgrupo normal no trivial y el grupo cociente correspondiente . Este proceso puede repetirse y, para grupos finitos, finalmente se llega a grupos simples determinados de forma única, mediante el teorema de Jordan-Hölder .
La clasificación completa de grupos finitos simples , completada en 2004, es un hito importante en la historia de las matemáticas.
El grupo cíclico de clases de congruencia módulo 3 (ver aritmética modular ) es simple. Si es un subgrupo de este grupo, su orden (el número de elementos) debe ser un divisor de cuyo orden es 3. Dado que 3 es primo, sus únicos divisores son 1 y 3, por lo que es o es el grupo trivial. . Por otro lado, el grupo no es sencillo. El conjunto de clases de congruencia de 0, 4 y 8 módulo 12 es un subgrupo de orden 3 y es un subgrupo normal ya que cualquier subgrupo de un grupo abeliano es normal. De manera similar, el grupo aditivo de los números enteros no es simple; el conjunto de números enteros pares es un subgrupo normal propio no trivial. [1]
Se puede utilizar el mismo tipo de razonamiento para cualquier grupo abeliano, para deducir que los únicos grupos abelianos simples son los grupos cíclicos de orden primo . La clasificación de grupos simples nobelianos es mucho menos trivial. El grupo simple nobeliano más pequeño es el grupo alterno de orden 60, y cada grupo simple de orden 60 es isomorfo a . [2] El segundo grupo simple nobeliano más pequeño es el grupo lineal especial proyectivo PSL(2,7) de orden 168, y cada grupo simple de orden 168 es isomorfo a PSL(2,7). [3] [4]
El grupo alterno infinito , es decir, el grupo de permutaciones de números enteros incluso finitamente soportadas, es simple. Este grupo se puede escribir como la unión creciente de los grupos finitos simples con respecto a las incrustaciones estándar . Otra familia de ejemplos de grupos infinitos simples viene dada por , donde es un campo infinito y .
Es mucho más difícil construir infinitos grupos simples generados finitamente . El primer resultado de existencia no es explícito; se debe a Graham Higman y consta de cocientes simples del grupo de Higman . [5] Ejemplos explícitos, que resultan estar presentados de forma finita, incluyen los infinitos grupos de Thompson y . Burger y Mozes construyeron grupos simples infinitos sin torsión, presentados de forma finita . [6]
Hasta el momento no existe una clasificación conocida para grupos simples generales (infinitos), y no se espera tal clasificación. [ cita necesaria ]
Los grupos finitos simples son importantes porque, en cierto sentido, son los "bloques de construcción básicos" de todos los grupos finitos, algo similar a la forma en que los números primos son los bloques de construcción básicos de los números enteros . Esto se expresa mediante el teorema de Jordan-Hölder que establece que dos series de composición cualesquiera de un grupo dado tienen la misma longitud y los mismos factores, hasta la permutación y el isomorfismo . En un gran esfuerzo de colaboración, Daniel Gorenstein declaró cumplida la clasificación de grupos finitos simples en 1983 , aunque surgieron algunos problemas (específicamente en la clasificación de grupos cuasifines , que se solucionaron en 2004).
Brevemente, los grupos finitos simples se clasifican en una de 18 familias o en una de 26 excepciones:
El famoso teorema de Feit y Thompson establece que todo grupo de orden impar tiene solución . Por tanto, todo grupo finito simple tiene orden par a menos que sea cíclico de orden primo.
La conjetura de Schreier afirma que el grupo de automorfismos externos de todo grupo finito simple tiene solución. Esto se puede demostrar utilizando el teorema de clasificación .
Hay dos hilos en la historia de los grupos finitos simples: el descubrimiento y la construcción de grupos y familias simples específicos, que tuvo lugar desde el trabajo de Galois en la década de 1820 hasta la construcción del Monstruo en 1981; y la prueba de que esta lista estaba completa, que comenzó en el siglo XIX, tuvo lugar de manera más significativa entre 1955 y 1983 (cuando se declaró inicialmente la victoria), pero en general solo se acordó que estaría terminada en 2004. A partir de 2010 [update], se trabaja para mejorar las pruebas. y la comprensión continúa; ver (Silvestri 1979) para la historia de los grupos simples del siglo XIX.
Los grupos simples se han estudiado al menos desde principios de la teoría de Galois , donde Évariste Galois se dio cuenta de que el hecho de que los grupos alternos en cinco o más puntos sean simples (y por lo tanto no resolubles), lo cual demostró en 1831, era la razón por la que no se podían resolver. resolver la quintica en radicales. Galois también construyó el grupo lineal especial proyectivo de un plano sobre un campo finito primo, PSL(2, p ) , y comentó que eran simples para p , no para 2 o 3. Esto está contenido en su última carta a Chevalier, [7] y son el siguiente ejemplo de grupos finitos simples. [8]
Los siguientes descubrimientos fueron realizados por Camille Jordan en 1870. [9] Jordan había encontrado 4 familias de grupos matriciales simples sobre campos finitos de orden primo, que ahora se conocen como grupos clásicos .
Casi al mismo tiempo, se demostró que una familia de cinco grupos, llamados grupos de Mathieu y descritos por primera vez por Émile Léonard Mathieu en 1861 y 1873, también eran simples. Dado que estos cinco grupos se construyeron mediante métodos que no ofrecían infinitas posibilidades, William Burnside los llamó " esporádicos " en su libro de texto de 1897.
Posteriormente , Leonard Dickson generalizó los resultados de Jordan sobre grupos clásicos a campos finitos arbitrarios , siguiendo la clasificación de álgebras de Lie simples y complejas de Wilhelm Killing . Dickson también construyó grupos de excepción de tipo G 2 y E 6 , pero no de tipos F 4 , E 7 o E 8 (Wilson 2009, p. 2). En la década de 1950 continuó el trabajo sobre grupos de tipo Lie, y Claude Chevalley dio una construcción uniforme de los grupos clásicos y de los grupos de tipo excepcional en un artículo de 1955. Esto omitió ciertos grupos conocidos (los grupos unitarios proyectivos), que se obtuvieron "torciendo" la construcción de Chevalley. Los grupos restantes de tipo Lie fueron producidos por Steinberg, Tetas y Herzig (quienes produjeron 3 D 4 ( q ) y 2 E 6 ( q )) y por Suzuki y Ree (los grupos Suzuki-Ree ).
Se creía que estos grupos (los grupos de tipo Lie, junto con los grupos cíclicos, los grupos alternos y los cinco grupos excepcionales de Mathieu) constituían una lista completa, pero después de una pausa de casi un siglo desde el trabajo de Mathieu, en 1964 Se descubrió el primer grupo de Janko , y los 20 grupos esporádicos restantes fueron descubiertos o conjeturados entre 1965 y 1975, culminando en 1981, cuando Robert Griess anunció que había construido el " grupo Monster " de Bernd Fischer . El Monstruo es el grupo simple esporádico más grande con un orden de 808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000. El Monstruo tiene una fiel representación de 196.883 dimensiones en el álgebra de Griess de 196.884 dimensiones , lo que significa que cada elemento del Monstruo puede expresarse como una matriz de 196.883 por 196.883.
Generalmente se acepta que la clasificación completa comienza con el teorema de Feit-Thompson de 1962-1963, y duró en gran medida hasta 1983, pero no se completó hasta 2004.
Poco después de la construcción del Monstruo en 1981, se proporcionó una prueba, con un total de más de 10.000 páginas, de que los teóricos de grupos habían enumerado con éxito todos los grupos finitos simples , y Daniel Gorenstein declaró la victoria en 1983. Esto fue prematuro: más tarde se descubrieron algunas lagunas, en particular en la clasificación de los grupos cuasitina , que finalmente fueron reemplazadas en 2004 por una clasificación de 1.300 páginas de grupos cuasitina, que ahora se acepta generalmente como completa.
Prueba de Sylow : Sea n un entero positivo que no es primo y sea p un divisor primo de n . Si 1 es el único divisor de n que es congruente con 1 módulo p , entonces no existe un grupo simple de orden n .
Prueba: Si n es una potencia prima, entonces un grupo de orden n tiene un centro no trivial [10] y, por tanto, no es simple. Si n no es una potencia prima, entonces cada subgrupo de Sylow es propio y, según el tercer teorema de Sylow , sabemos que el número de p -subgrupos de Sylow de un grupo de orden n es igual a 1 módulo p y divide a n . Dado que 1 es el único número de este tipo, el subgrupo p de Sylow es único y, por tanto, es normal. Dado que es un subgrupo propiamente dicho y sin identidad, el grupo no es simple.
Burnside : Un grupo simple finito no abeliano tiene un orden divisible por al menos tres números primos distintos. Esto se desprende del teorema de Burnside .
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