En álgebra abstracta , un grupo finito es un grupo cuyo conjunto subyacente es finito . Los grupos finitos suelen surgir cuando se considera la simetría de objetos matemáticos o físicos, cuando esos objetos admiten solo un número finito de transformaciones que preservan la estructura. Ejemplos importantes de grupos finitos incluyen grupos cíclicos y grupos de permutación .
El estudio de los grupos finitos ha sido parte integral de la teoría de grupos desde que surgió en el siglo XIX. Un área de estudio importante ha sido la clasificación: la clasificación de los grupos finitos simples (aquellos que no tienen ningún subgrupo normal no trivial ) se completó en 2004.
Durante el siglo XX, los matemáticos investigaron en gran profundidad algunos aspectos de la teoría de grupos finitos, especialmente la teoría local de grupos finitos y la teoría de grupos resolubles y nilpotentes . [1] [2] Como consecuencia, se logró la clasificación completa de los grupos simples finitos , es decir, ahora se conocen todos aquellos grupos simples a partir de los cuales se pueden construir todos los grupos finitos.
Durante la segunda mitad del siglo XX, matemáticos como Chevalley y Steinberg también aumentaron nuestra comprensión de los análogos finitos de los grupos clásicos y otros grupos relacionados. Una de estas familias de grupos es la familia de grupos lineales generales sobre cuerpos finitos .
Los grupos finitos se dan a menudo cuando se considera la simetría de objetos matemáticos o físicos, cuando esos objetos admiten sólo un número finito de transformaciones que preservan la estructura. La teoría de los grupos de Lie , que puede considerarse que trata de la " simetría continua ", está fuertemente influenciada por los grupos de Weyl asociados. Estos son grupos finitos generados por reflexiones que actúan sobre un espacio euclidiano de dimensión finita . Las propiedades de los grupos finitos pueden, por tanto, desempeñar un papel en materias como la física teórica y la química . [3]
El grupo simétrico S n en un conjunto finito de n símbolos es el grupo cuyos elementos son todas las permutaciones de los n símbolos, y cuya operación de grupo es la composición de tales permutaciones, que se tratan como funciones biyectivas del conjunto de símbolos hacia sí mismo. [4] Puesto que hay n ! ( n factorial ) permutaciones posibles de un conjunto de n símbolos, se deduce que el orden (el número de elementos) del grupo simétrico S n es n !.
Un grupo cíclico Z n es un grupo cuyos elementos son potencias de un elemento particular a donde a n = a 0 = e , la identidad. Una realización típica de este grupo es como las raíces n ésimas complejas de la unidad . Enviar a a a una raíz primitiva de la unidad da un isomorfismo entre los dos. Esto se puede hacer con cualquier grupo cíclico finito.
Un grupo abeliano , también llamado grupo conmutativo , es un grupo en el que el resultado de aplicar la operación de grupo a dos elementos del grupo no depende de su orden (el axioma de conmutatividad ). Su nombre se debe a Niels Henrik Abel . [5]
Un grupo abeliano finito arbitrario es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos finitos de orden de potencia primo, y estos órdenes están determinados de forma única, formando un sistema completo de invariantes. El grupo de automorfismos de un grupo abeliano finito se puede describir directamente en términos de estos invariantes. La teoría se había desarrollado por primera vez en el artículo de 1879 de Georg Frobenius y Ludwig Stickelberger y más tarde se simplificó y se generalizó a módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal, formando un capítulo importante del álgebra lineal .
Un grupo de tipo Lie es un grupo estrechamente relacionado con el grupo G ( k ) de puntos racionales de un grupo algebraico lineal reductivo G con valores en el cuerpo k . Los grupos finitos de tipo Lie dan la mayor parte de los grupos simples finitos no abelianos . Los casos especiales incluyen los grupos clásicos , los grupos de Chevalley , los grupos de Steinberg y los grupos de Suzuki-Ree .
Los grupos finitos de tipo Lie estuvieron entre los primeros grupos considerados en matemáticas, después de los grupos cíclicos , simétricos y alternantes , con los grupos lineales especiales proyectivos sobre cuerpos finitos primos, PSL(2, p ) construidos por Évariste Galois en la década de 1830. La exploración sistemática de los grupos finitos de tipo Lie comenzó con el teorema de Camille Jordan de que el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, q ) es simple para q ≠ 2, 3. Este teorema se generaliza a grupos proyectivos de dimensiones superiores y da una importante familia infinita PSL( n , q ) de grupos simples finitos . Otros grupos clásicos fueron estudiados por Leonard Dickson a principios del siglo XX. En la década de 1950, Claude Chevalley se dio cuenta de que después de una reformulación apropiada, muchos teoremas sobre grupos de Lie semisimples admiten análogos para grupos algebraicos sobre un cuerpo arbitrario k , lo que lleva a la construcción de lo que ahora se llama grupos de Chevalley . Además, como en el caso de los grupos de Lie simples compactos, los grupos correspondientes resultaron ser casi simples como grupos abstractos ( teorema de simplicidad de Tits ). Aunque se sabía desde el siglo XIX que existían otros grupos simples finitos (por ejemplo, los grupos de Mathieu ), gradualmente se formó la creencia de que casi todos los grupos simples finitos pueden explicarse por extensiones apropiadas de la construcción de Chevalley, junto con los grupos cíclicos y alternantes. Además, las excepciones, los grupos esporádicos , comparten muchas propiedades con los grupos finitos de tipo Lie y, en particular, pueden construirse y caracterizarse en función de su geometría en el sentido de Tits.
La creencia se ha convertido ahora en un teorema: la clasificación de los grupos simples finitos . La inspección de la lista de grupos simples finitos muestra que los grupos de tipo Lie sobre un cuerpo finito incluyen todos los grupos simples finitos excepto los grupos cíclicos, los grupos alternantes, el grupo de Tits y los 26 grupos simples esporádicos .
Para cualquier grupo finito G , el orden (número de elementos) de cada subgrupo H de G divide el orden de G . El teorema recibe su nombre de Joseph-Louis Lagrange .
Esto proporciona una respuesta parcial al teorema de Lagrange, brindando información sobre cuántos subgrupos de un orden dado están contenidos en G.
El teorema de Cayley , llamado así en honor a Arthur Cayley , establece que cada grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico que actúa sobre G. [6] Esto puede entenderse como un ejemplo de la acción grupal de G sobre los elementos de G. [7 ]
El teorema de Burnside en teoría de grupos establece que si G es un grupo finito de orden p a q b , donde p y q son números primos , y a y b son números enteros no negativos , entonces G es resoluble . Por lo tanto, cada grupo simple finito no abeliano tiene un orden divisible por al menos tres primos distintos.
El teorema de Feit-Thompson , o teorema de orden impar , establece que todo grupo finito de orden impar es resoluble . Fue demostrado por Walter Feit y John Griggs Thompson (1962, 1963)
La clasificación de grupos finitos simples es un teorema que establece que todo grupo finito simple pertenece a una de las siguientes familias:
Los grupos finitos simples pueden considerarse los bloques básicos de construcción de todos los grupos finitos, de una manera que recuerda la forma en que los números primos son los bloques básicos de construcción de los números naturales . El teorema de Jordan-Hölder es una forma más precisa de enunciar este hecho sobre los grupos finitos. Sin embargo, una diferencia significativa con respecto al caso de la factorización de números enteros es que dichos "bloques básicos" no necesariamente determinan de manera única un grupo, ya que podría haber muchos grupos no isomorfos con la misma serie de composición o, dicho de otra manera, el problema de extensión no tiene una solución única.
La prueba del teorema consta de decenas de miles de páginas en varios cientos de artículos de revistas escritos por unos 100 autores, publicados principalmente entre 1955 y 2004. Gorenstein (fallecido en 1992), Lyons y Solomon están publicando gradualmente una versión simplificada y revisada de la prueba.
Dado un entero positivo n , no es en absoluto una cuestión rutinaria determinar cuántos tipos de isomorfismo de grupos de orden n hay. Todo grupo de orden primo es cíclico , porque el teorema de Lagrange implica que el subgrupo cíclico generado por cualquiera de sus elementos no identidad es el grupo entero. Si n es el cuadrado de un primo, entonces hay exactamente dos posibles tipos de isomorfismo de grupo de orden n , ambos abelianos. Si n es una potencia superior de un primo, entonces los resultados de Graham Higman y Charles Sims dan estimaciones asintóticamente correctas para el número de tipos de isomorfismo de grupos de orden n , y el número crece muy rápidamente a medida que aumenta la potencia.
Dependiendo de la factorización prima de n , se pueden imponer algunas restricciones a la estructura de los grupos de orden n , como consecuencia, por ejemplo, de resultados como los teoremas de Sylow . Por ejemplo, todo grupo de orden pq es cíclico cuando q < p son primos con p − 1 no divisible por q . Para una condición necesaria y suficiente, véase número cíclico .
Si n no tiene cuadrados , entonces cualquier grupo de orden n es resoluble. El teorema de Burnside , demostrado usando caracteres de grupo , establece que todo grupo de orden n es resoluble cuando n es divisible por menos de tres primos distintos, es decir, si n = p a q b , donde p y q son números primos, y a y b son números enteros no negativos. Por el teorema de Feit-Thompson , que tiene una demostración larga y complicada, todo grupo de orden n es resoluble cuando n es impar.
Para cada entero positivo n , la mayoría de los grupos de orden n son resolubles . Ver esto para cualquier orden particular no suele ser difícil (por ejemplo, hay, hasta isomorfismo, un grupo no resoluble y 12 grupos resolubles de orden 60) pero la prueba de esto para todos los órdenes utiliza la clasificación de grupos simples finitos . Para cualquier entero positivo n hay como máximo dos grupos simples de orden n , y hay infinitos enteros positivos n para los cuales hay dos grupos simples no isomorfos de orden n .