Tipo de grupo finito simple no clasificado como Lie, cíclico o alterno
En la clasificación matemática de grupos finitos simples , hay 26 o 27 grupos que no encajan en ninguna familia infinita. Éstos se llaman grupos simples esporádicos , o grupos finitos esporádicos , o simplemente grupos esporádicos .
Un grupo simple es un grupo G que no tiene subgrupos normales excepto el grupo trivial y el propio G. El teorema de clasificación mencionado establece que la lista de grupos finitos simples consta de 18 familias infinitas contables [a] más 26 excepciones que no siguen un patrón tan sistemático. Estas 26 excepciones son los grupos esporádicos. El grupo Tetas a veces se considera un grupo esporádico porque no es estrictamente un grupo de tipo Lie , [1] en cuyo caso habría 27 grupos esporádicos.
El grupo de monstruos , o gigante amigable , es el más grande de los grupos esporádicos, y todos los otros grupos esporádicos, excepto seis, son subcocientes de él. [2]
Nombres
Cinco de los grupos esporádicos fueron descubiertos por Émile Mathieu en la década de 1860 y los otros veintiuno se encontraron entre 1965 y 1975. Se predijo que varios de estos grupos existirían antes de su construcción. La mayoría de los grupos llevan el nombre de los matemáticos que predijeron por primera vez su existencia. La lista completa es: [1] [3] [4]
El diagrama muestra las relaciones de subcociente entre los grupos esporádicos . Una línea de conexión significa que el grupo inferior es un subcociente del superior, sin ningún subcociente esporádico en el medio. 1ra generación,2da generación,tercera generación,Paria
Varias construcciones para estos grupos se compilaron por primera vez en Conway et al. (1985), incluidas tablas de caracteres , clases de conjugación individuales y listas de subgrupos máximos , así como multiplicadores de Schur y órdenes de sus automorfismos externos . Estos también se enumeran en línea en Wilson et al. (1999), actualizados con sus presentaciones grupales y semipresentaciones. También se han calculado los grados de representación fiel mínima o caracteres de Brauer sobre campos de característica p ≥ 0 para todos los grupos esporádicos y para algunos de sus grupos de cobertura. Estos se detallan en Jansen (2005).
Una excepción adicional en la clasificación de grupos finitos simples es el grupo de tetas T , que a veces se considera de tipo Lie [5] o esporádico (es casi, pero no estrictamente, un grupo de tipo Lie [6]) , razón por la cual en algunas fuentes el número de grupos esporádicos se da como 27, en lugar de 26. [7] [8] En algunas otras fuentes, el grupo de las tetas no se considera ni esporádico ni de tipo Lie, o ambos. [9] [ cita necesaria ] El grupo de tetas es el ( n = 0) miembro 2 F 4 (2)′ de la familia infinita de grupos de conmutadores 2 F 4 (2 2 n +1 )′ ; por tanto, en sentido estricto no es esporádico ni de tipo Lie. Para n > 0 estos grupos finitos simples coinciden con los grupos de Lie tipo 2 F 4 (2 2 n +1 ), también conocidos como grupos de Ree de tipo 2 F 4 .
El primer uso del término grupo esporádico puede ser de Burnside (1911, p. 504), donde comenta sobre los grupos de Mathieu: "Estos grupos simples aparentemente esporádicos probablemente merecerían un examen más detenido del que han recibido hasta ahora". (En ese momento, los otros grupos esporádicos no habían sido descubiertos).
El diagrama de la derecha está basado en Ronan (2006, p. 247). No muestra los numerosos subcocientes simples no esporádicos de los grupos esporádicos.
Organización
Familia feliz
De los 26 grupos esporádicos, 20 pueden verse dentro del grupo de monstruos como subgrupos o cocientes de subgrupos ( secciones ). Estas veinte han sido llamadas la familia feliz por Robert Griess , y pueden organizarse en tres generaciones. [10] [b]
Primera generación (5 grupos): los grupos Mathieu
M n para n = 11, 12, 22, 23 y 24 son grupos de permutaciones multiplicativamente transitivos en n puntos. Todos ellos son subgrupos de M 24 , que es un grupo de permutación de 24 puntos. [11]
Co 1 es el cociente del grupo de automorfismos por su centro {±1}
Co 2 es el estabilizador de un vector tipo 2 (es decir, longitud 2)
Co 3 es el estabilizador de un vector tipo 3 (es decir, longitud √ 6 )
Suz es el grupo de automorfismos que conservan una estructura compleja (módulo su centro)
McL es el estabilizador de un triángulo tipo 2-2-3.
HS es el estabilizador de un triángulo tipo 2-3-3
J 2 es el grupo de automorfismos que conservan una estructura cuaterniónica (módulo su centro).
Tercera generación (8 grupos): otros subgrupos del Monster
Consta de subgrupos que están estrechamente relacionados con el grupo Monster M : [13]
B o F 2 tiene una doble tapa que es el centralizador de un elemento de orden 2 en M
Fi 24 ′ tiene una triple cubierta que es el centralizador de un elemento de orden 3 en M (en clase de conjugación "3A")
Fi 23 es un subgrupo de Fi 24 ′
Fi 22 tiene una doble cubierta que es un subgrupo de Fi 23
El producto de Th = F 3 y un grupo de orden 3 es el centralizador de un elemento de orden 3 en M (en clase de conjugación "3C")
El producto de HN = F 5 y un grupo de orden 5 es el centralizador de un elemento de orden 5 en M
El producto de He = F 7 y un grupo de orden 7 es el centralizador de un elemento de orden 7 en M .
Finalmente, se considera que el propio grupo Monster pertenece a esta generación.
(Esta serie continúa: el producto de M 12 y un grupo de orden 11 es el centralizador de un elemento de orden 11 en M. )
El grupo Tetas , si se considera un grupo esporádico, pertenecería a esta generación: existe un subgrupo S 4 × 2 F 4 (2)′ que normaliza un subgrupo 2C 2 de B , dando lugar a un subgrupo 2·S 4 × 2 F 4 (2)′ normalizando un determinado subgrupo Q 8 del Monstruo. 2 F 4 (2)′ es también un subcociente del grupo de Fischer Fi 22 , y por tanto también de Fi 23 y Fi 24 ′, y del Baby Monster B . 2 F 4 (2)′ es también un subcociente del grupo (paria) Rudvalis Ru , y no tiene implicaciones en grupos simples esporádicos excepto los ya mencionados.
Parias
Las seis excepciones son J 1 , J 3 , J 4 , O'N , Ru y Ly , a veces conocidos como los parias . [14] [15]
Tabla de pedidos del grupo esporádico (con grupo de Tetas)
Notas
^ Los grupos de orden primo, los grupos alternos de grado al menos 5, la familia infinita de grupos de conmutadores 2 F 4 (2 2 n +1 )′ de grupos de tipo Lie (que contienen el grupo de tetas) y 15 familias de grupos de tipo Mentira.
^ Conway y col. (1985, p. viii) organiza los 26 grupos esporádicos a semejanza:
"Los grupos simples esporádicos pueden clasificarse a grandes rasgos como los grupos de Mathieu, los grupos de celosía Leech, los grupos de 3 transposiciones de Fischer, los centralizadores Monster adicionales y la media docena de rarezas".
^ Aquí se enumeran semipresentaciones de generadores estándar de cada grupo esporádico. La mayoría de los grupos esporádicos tienen múltiples presentaciones y semipresentaciones; se enumeran los ejemplos más destacados.
^ Dónde y con .
Referencias
^ a b C Conway y col. (1985, pág. viii)
^ Griess, Jr. (1998, pág.146)
^ Gorenstein, Lyons y Solomon (1998, págs. 262-302)
^ abc Ronan (2006, págs. 244-246)
^ Howlett, Rylands y Taylor (2001, p.429)
"Esto completa la determinación de los generadores de matrices para todos los grupos de tipo Lie, incluidos los grupos retorcidos de Steinberg, Suzuki y Ree (y el grupo de Tetas)".
^ Gorenstein (1979, p.111)
^ Conway y col. (1985, pág. viii)
^ Hartley y Hulpke (2010, p.106)
"Los grupos finitos simples son los componentes básicos de la teoría de grupos finitos. La mayoría caen en unas pocas familias infinitas de grupos, pero hay 26 (o 27 si se cuenta también el grupo de tetas 2 F 4 (2)′ ) que estas familias infinitas no incluye."
^ Wilson y col. (1999, Grupos esporádicos y grupos excepcionales de tipo Mentira)
^ Griess, Jr. (1982, pág.91)
^ Griess, Jr. (1998, págs. 54–79)
^ Griess, Jr. (1998, págs. 104-145)
^ Griess, Jr. (1998, págs. 146-150)
^ Griess, Jr. (1982, págs. 91-96)
^ Griess, Jr. (1998, págs.146, 150-152)
^ Silbido (2003, pág.172)
Tabelle 2. Die Entdeckung der sporadischen Gruppen (Tabla 2. El descubrimiento de los grupos esporádicos)
Gorenstein, D .; Lyon, Richard; Salomón, Ronald (1998). La clasificación de los grupos finitos simples, Número 3. Encuestas y Monografías Matemáticas. vol. 40. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. xiii, 1–362. doi :10.1112/S0024609398255457. ISBN 978-0-8218-0391-2. SEÑOR 1490581. OCLC 6907721813. S2CID 209854856.
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