En matemáticas , la clasificación de grupos finitos simples establece que todo grupo finito simple es cíclico , o alterno , o en una de 16 familias de grupos de tipo Lie , o en uno de 26 grupos esporádicos .
La siguiente lista proporciona todos los grupos finitos simples, junto con su orden , el tamaño del multiplicador de Schur , el tamaño del grupo de automorfismo externo , generalmente algunas representaciones pequeñas y listas de todos los duplicados.
La siguiente tabla es una lista completa de las 18 familias de grupos simples finitos y los 26 grupos simples esporádicos, junto con sus órdenes. Se enumeran todos los miembros no simples de cada familia, así como los miembros duplicados dentro de una familia o entre familias. (Al eliminar duplicados es útil observar que no hay dos grupos simples finitos que tengan el mismo orden, excepto que el grupo A 8 = A 3 (2) y A 2 (4) ambos tienen orden 20160, y que el grupo B n ( q ) tiene el mismo orden que C n ( q ) para q impar, n > 2. Los más pequeños de los últimos pares de grupos son B 3 (3) y C 3 (3), ambos de orden 4585351680.)
Existe un desafortunado conflicto entre las notaciones para los grupos alternos An y los grupos de tipo Lie An ( q ) . Algunos autores utilizan varias fuentes diferentes para A n para distinguirlas. En particular, en este artículo hacemos la distinción estableciendo los grupos alternos A n en fuente romana y los grupos de tipo Lie A n ( q ) en cursiva.
En lo que sigue, n es un entero positivo y q es una potencia positiva de un número primo p , con las restricciones señaladas. La notación ( a , b ) representa el máximo común divisor de los números enteros a y b .
Simplicidad: Simple para p un número primo.
Orden: p
Multiplicador de Schur: Trivial.
Grupo de automorfismo externo: cíclico de orden p − 1.
Otros nombres: Z/ p Z, C p
Observaciones: Estos son los únicos grupos simples que no son perfectos .
Simplicidad: solucionable para n <5; de lo contrario, simple.
Orden: n !/2 cuando n > 1.
Multiplicador de Schur: 2 para n = 5 o n > 7, 6 para n = 6 o 7; ver Grupos de cobertura de los grupos alternos y simétricos.
Grupo de automorfismo externo: En general 2. Excepciones: para n = 1, n = 2, es trivial, y para n = 6 , tiene orden 4 (abeliano elemental).
Otros nombres: Alt n .
Isomorfismos: A 1 y A 2 son triviales. A 3 es cíclico de orden 3. A 4 es isomorfo a A 1 (3) (resoluble). A 5 es isomorfo a A 1 (4) y a A 1 (5). A 6 es isomorfo a A 1 (9) y al grupo derivado B 2 (2)′. A 8 es isomorfo a A 3 (2).
Observaciones: Un subgrupo de índice 2 del grupo simétrico de permutaciones de n puntos cuando n > 1.
Notación: n es un entero positivo, q > 1 es una potencia de un número primo p y es el orden de algún campo finito subyacente . El orden del grupo de automorfismos externos se escribe como d ⋅ f ⋅ g , donde d es el orden del grupo de "automorfismos diagonales", f es el orden del grupo (cíclico) de "automorfismos de campo" (generado por Frobenius automorfismo ), y g es el orden del grupo de "automorfismos de grafos" (procedentes de automorfismos del diagrama de Dynkin ). El grupo de automorfismo externo es a menudo, pero no siempre, isomorfo al producto semidirecto donde todos estos grupos son cíclicos de los respectivos órdenes d, f, g , excepto el tipo , impar, donde el grupo de orden es , y (solo cuando ) , el grupo simétrico de tres elementos. La notación ( a , b ) representa el máximo común divisor de los números enteros a y b .
Simplicidad: Simple para n ≥ 1. El grupo 2 B 2 (2) tiene solución.
Orden: q 2 ( q 2 + 1) ( q − 1), donde q = 2 2 n +1 .
Multiplicador de Schur: Trivial para n ≠ 1, abeliano elemental de orden 4 para 2 B 2 (8).
Grupo de automorfismo externo:
donde f = 2 norte + 1.
Otros nombres: Suz(2 2 n +1 ), Sz(2 2 n +1 ).
Isomorfismos: 2 B 2 (2) es el grupo de Frobenius de orden 20.
Observaciones: El grupo Suzuki son grupos de Zassenhaus que actúan sobre conjuntos de tamaño (2 2 n +1 ) 2 + 1, y tienen representaciones de 4 dimensiones sobre el campo con 2 2 n +1 elementos. Son los únicos grupos simples no cíclicos cuyo orden no es divisible por 3. No están relacionados con el grupo esporádico de Suzuki.
Simplicidad: Simple para n ≥ 1. El grupo derivado 2 F 4 (2)′ es simple de índice 2 en 2 F 4 (2), y se llama grupo de Tit , llamado así por el matemático belga Jacques Tit .
Orden: q 12 ( q 6 + 1) ( q 4 − 1) ( q 3 + 1) ( q − 1), donde q = 2 2 n +1 .
El grupo Tetas tiene orden 17971200 = 2 11 ⋅ 3 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13.
Multiplicador de Schur: Trivial para n ≥ 1 y para el grupo de Tetas.
Grupo de automorfismo externo:
donde f = 2 n + 1. Orden 2 para el grupo Tetas.
Observaciones: A diferencia de los otros grupos simples de tipo Lie, el grupo de Tetas no tiene un par BN , aunque su grupo de automorfismo sí lo tiene, por lo que la mayoría de los autores lo cuentan como una especie de grupo honorario de tipo Lie.
Simplicidad: Simple para n ≥ 1. El grupo 2 G 2 (3) no es simple, pero su grupo derivado 2 G 2 (3)′ es un subgrupo simple del índice 3.
Orden: q 3 ( q 3 + 1) ( q − 1), donde q = 3 2 n +1
Multiplicador de Schur: Trivial para n ≥ 1 y para 2 G 2 (3)′.
Grupo de automorfismo externo:
donde f = 2 norte + 1.
Otros nombres: Ree(3 2 n +1 ), R(3 2 n +1 ), E 2 ∗ (3 2 n +1 ) .
Isomorfismos: El grupo derivado 2 G 2 (3)′ es isomorfo a A 1 (8).
Observaciones: 2 G 2 (3 2 n +1 ) tiene una representación de permutación doblemente transitiva en 3 3(2 n +1) + 1 puntos y actúa sobre un espacio vectorial de 7 dimensiones sobre el campo con 3 2 n +1 elementos.
Orden: 2 9 ⋅ 3 2 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000
Multiplicador de Schur: Orden 2.
Grupo de automorfismo externo: orden 2.
Observaciones: Actúa como un grupo de permutación de rango 3 en el gráfico de Higman Sims con 100 puntos y está contenido en Co 2 y Co 3 .
Orden: 2 7 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000
Multiplicador de Schur: Orden 3.
Grupo de automorfismo externo: orden 2.
Observaciones: Actúa como un grupo de permutación de rango 3 en el gráfico de McLaughlin con 275 puntos y está contenido en Co 2 y Co 3 .
Orden: 2 10 ⋅ 3 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 3 ⋅ 17 = 4030387200
Multiplicador de Schur: Trivial.
Grupo de automorfismo externo: orden 2.
Otros nombres: grupo Held-Higman-McKay, HHM, F 7 , HTH
Observaciones: Centraliza un elemento de orden 7 en el grupo de monstruos.
Orden: 2 14 ⋅ 3 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000
Multiplicador de Schur: Orden 2.
Grupo de automorfismo externo: Trivial.
Observaciones: La doble cubierta actúa sobre una red de 28 dimensiones sobre los enteros gaussianos .
Orden: 2 13 ⋅ 3 7 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600
Multiplicador de Schur: Orden 6.
Grupo de automorfismo externo: orden 2.
Otros nombres: Sz
Observaciones: La cubierta de 6 pliegues actúa sobre una red de 12 dimensiones sobre los números enteros de Eisenstein . No está relacionado con los grupos Suzuki de tipo Lie.
Orden: 2 9 ⋅ 3 4 ⋅ 5 ⋅ 7 3 ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920
Multiplicador de Schur: Orden 3.
Grupo de automorfismo externo: orden 2.
Otros nombres: grupo O'Nan–Sims, O'NS, O–S
Observaciones: La triple portada tiene dos representaciones de 45 dimensiones sobre el campo con 7 elementos, intercambiadas por un automorfismo exterior.
Orden: 2 14 ⋅ 3 6 ⋅ 5 6 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000
Multiplicador de Schur: Trivial.
Grupo de automorfismo externo: orden 2.
Otros nombres: F 5 , D
Observaciones: Centraliza un elemento de orden 5 en el grupo de monstruos.
Orden: 2 8 ⋅ 3 7 ⋅ 5 6 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000
Multiplicador de Schur: Trivial.
Grupo de automorfismo externo: Trivial.
Otros nombres: grupo Lyons-Sims, LyS
Observaciones: Tiene una representación de 111 dimensiones sobre el campo con 5 elementos.
Orden: 2 15 ⋅ 3 10 ⋅ 5 3 ⋅ 7 2 ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000
Multiplicador de Schur: Trivial.
Grupo de automorfismo externo: Trivial.
Otros nombres: F 3 , E
Observaciones: Centraliza un elemento de orden 3 en el monstruo y está contenido en E 8 (3), por lo que tiene una representación de 248 dimensiones sobre el campo con 3 elementos.
Orden:
Multiplicador de Schur: Orden 2.
Grupo de automorfismo externo: Trivial.
Otros nombres: F 2
Observaciones: La doble portada está contenida en el grupo de monstruos. Tiene una representación de dimensión 4371 sobre los números complejos (sin producto invariante no trivial) y una representación de dimensión 4370 sobre el campo con 2 elementos que conservan un producto conmutativo pero no asociativo.
Orden:
Multiplicador de Schur: Trivial.
Grupo de automorfismo externo: Trivial.
Otros nombres: F 1 , M 1 , Grupo de monstruos, Gigante amistoso, Monstruo de Fischer.
Observaciones: Contiene todos menos 6 de los otros grupos esporádicos como subcocientes. Relacionado con el monstruoso alcohol ilegal . El monstruo es el grupo de automorfismo del álgebra de Griess de 196.883 dimensiones y el álgebra del operador de vértice del monstruo de dimensión infinita , y actúa naturalmente sobre el álgebra de Lie del monstruo .
(Completar para pedidos inferiores a 100.000)
Hall (1972) enumera los 56 grupos simples no cíclicos de orden inferior a un millón.
