Teoría de grupos geométricos

Área de matemáticas dedicada al estudio de grupos finitamente generados.

El gráfico de Cayley de un grupo libre con dos generadores. Se trata de un grupo hiperbólico cuyo límite de Gromov es un conjunto de Cantor . Los grupos hiperbólicos y sus límites son temas importantes en la teoría de grupos geométricos, al igual que los gráficos de Cayley.

La teoría de grupos geométricos es un área de las matemáticas dedicada al estudio de grupos generados finitamente mediante la exploración de las conexiones entre las propiedades algebraicas de dichos grupos y las propiedades topológicas y geométricas de los espacios en los que actúan estos grupos (es decir, cuando los grupos en cuestión se realizan como simetrías geométricas o transformaciones continuas de algunos espacios).

Otra idea importante en la teoría de grupos geométricos es considerar a los grupos generados finitamente como objetos geométricos. Esto generalmente se hace estudiando los gráficos de grupos de Cayley, que, además de la estructura del gráfico , están dotados de la estructura de un espacio métrico , dada por la llamada palabra métrica .

La teoría de grupos geométricos, como área distinta, es relativamente nueva y se convirtió en una rama claramente identificable de las matemáticas a finales de los años 1980 y principios de los 1990. La teoría de grupos geométricos interactúa estrechamente con la topología de baja dimensión , la geometría hiperbólica , la topología algebraica , la teoría de grupos computacional y la geometría diferencial . También existen conexiones sustanciales con la teoría de la complejidad , la lógica matemática , el estudio de los grupos de Lie y sus subgrupos discretos, los sistemas dinámicos , la teoría de la probabilidad , la teoría K y otras áreas de las matemáticas.

En la introducción a su libro Topics in Geométrico Group Theory , Pierre de la Harpe escribió: "Una de mis creencias personales es que la fascinación por las simetrías y los grupos es una forma de afrontar las frustraciones de las limitaciones de la vida: nos gusta reconocer las simetrías que nos permiten reconocer más de lo que podemos ver. En este sentido el estudio de la teoría de grupos geométricos es parte de la cultura, y me recuerda varias cosas que Georges de Rham practicó en muchas ocasiones, como enseñar matemáticas, recitar Mallarmé o saludar a un amigo". ^{[1] : 3}

Historia

La teoría geométrica de grupos surgió de la teoría combinatoria de grupos que estudiaba en gran medida las propiedades de grupos discretos mediante el análisis de presentaciones de grupos , que describen a los grupos como cocientes de grupos libres ; Este campo fue estudiado sistemáticamente por primera vez por Walther von Dyck , estudiante de Felix Klein , a principios de la década de 1880, ^[2] mientras que una forma temprana se encuentra en el cálculo icosiano de 1856 de William Rowan Hamilton , donde estudió el grupo de simetría icosaédrica a través del borde. gráfica del dodecaedro . Actualmente, la teoría combinatoria de grupos como área está en gran medida subsumida por la teoría geométrica de grupos. Además, el término "teoría geométrica de grupos" llegó a incluir a menudo el estudio de grupos discretos utilizando enfoques probabilísticos, teóricos de medidas , aritméticos, analíticos y otros que se encuentran fuera del arsenal tradicional de la teoría combinatoria de grupos.

En la primera mitad del siglo XX, los trabajos pioneros de Max Dehn , Jakob Nielsen , Kurt Reidemeister y Otto Schreier , JHC Whitehead , Egbert van Kampen , entre otros, introdujeron algunas ideas topológicas y geométricas en el estudio de grupos discretos. ^[3] Otros precursores de la teoría de grupos geométricos incluyen la teoría de la pequeña cancelación y la teoría de Bass-Serre . La teoría de la pequeña cancelación fue introducida por Martin Grindlinger en la década de 1960 ^{[4] [5]} y desarrollada por Roger Lyndon y Paul Schupp . ^[6] Estudia diagramas de van Kampen , correspondientes a presentaciones de grupos finitos, mediante condiciones de curvatura combinatoria y deriva propiedades algebraicas y algorítmicas de grupos a partir de dicho análisis. La teoría de Bass-Serre, introducida en el libro de Serre de 1977, ^[7] deriva información algebraica estructural sobre grupos mediante el estudio de acciones grupales en árboles simpliciales . Los precursores externos de la teoría de grupos geométricos incluyen el estudio de redes en grupos de Lie, especialmente el teorema de rigidez de Mostow , el estudio de los grupos kleinianos y los avances logrados en topología de baja dimensión y geometría hiperbólica en los años 1970 y principios de los 1980, estimulados, en particular, por el programa de Geometrización de William Thurston .

El surgimiento de la teoría de grupos geométricos como un área distinta de las matemáticas generalmente se remonta a finales de los años 1980 y principios de los 1990. Fue impulsado por la monografía de 1987 de Mikhail Gromov "Grupos hiperbólicos" ^[8] que introdujo la noción de un grupo hiperbólico (también conocido como hiperbólico de palabras o hiperbólico de Gromov o grupo curvado negativamente ), que captura la idea de un grupo finitamente generado. grupo que tiene curvatura negativa a gran escala, y por su monografía posterior Invariantes asintóticos de grupos infinitos , ^[9] que esbozó el programa de Gromov para comprender grupos discretos hasta la cuasiisometría . El trabajo de Gromov tuvo un efecto transformador en el estudio de grupos discretos ^{[10] [11] [12]} y la frase "teoría geométrica de grupos" comenzó a aparecer poco después. (ver, por ejemplo, ^[13] ).

Temas y desarrollos modernos.

Los temas y desarrollos notables en la teoría de grupos geométricos en las décadas de 1990 y 2000 incluyen:

• Programa de Gromov para estudiar propiedades cuasi isométricas de grupos.

Un tema amplio particularmente influyente en el área es el programa de Gromov ^[14] de clasificar grupos generados finitamente según su geometría a gran escala. Formalmente, esto significa clasificar grupos generados finitamente con su palabra métrica hasta cuasiisometría . Este programa implica:

1. El estudio de propiedades que son invariantes bajo cuasiisometría . Ejemplos de tales propiedades de grupos finitamente generados incluyen: la tasa de crecimiento de un grupo finitamente generado; la función isoperimétrica o función de Dehn de un grupo presentado finitamente ; el número de extremos de un grupo ; hiperbolicidad de un grupo ; el tipo de homeomorfismo del límite de Gromov de un grupo hiperbólico; ^[15] conos asintóticos de grupos generados finitamente (ver, por ejemplo, ^{[16] [17]} ); dócilidad de un grupo finitamente generado; ser prácticamente abeliano (es decir, tener un subgrupo abeliano de índice finito ); siendo prácticamente nilpotente ; siendo prácticamente libre ; estar finitamente presentable ; ser un grupo finitamente presentable con problemas verbales que se pueden resolver ; y otros.
2. Teoremas que utilizan invariantes de cuasiisometría para demostrar resultados algebraicos sobre grupos, por ejemplo: teorema de crecimiento polinómico de Gromov ; Teorema de los extremos de Stallings ; Teorema de rigidez de Mostow .
3. Teoremas de rigidez cuasi isométrica, en los que se clasifican algebraicamente todos los grupos que son cuasi isométricos con respecto a algún grupo o espacio métrico determinado. Esta dirección fue iniciada por el trabajo de Schwartz sobre la rigidez cuasi isométrica de las redes de rango uno ^[18] y el trabajo de Benson Farb y Lee Mosher sobre la rigidez cuasi isométrica de los grupos Baumslag-Solitar . ^[19]

• La teoría de los grupos de palabras hiperbólicos y relativamente hiperbólicos . Un desarrollo particularmente importante aquí es el trabajo de Zlil Sela en la década de 1990 que resultó en la solución del problema de isomorfismo para grupos hiperbólicos de palabras. ^[20] La noción de grupos relativamente hiperbólicos fue introducida originalmente por Gromov en 1987 ^[8] y refinada por Farb ^[21] y Brian Bowditch , ^[22] en la década de 1990. El estudio de grupos relativamente hiperbólicos ganó importancia en la década de 2000.
• Interacciones con la lógica matemática y el estudio de la teoría de primer orden de grupos libres. Se produjeron avances particularmente importantes en las famosas conjeturas de Tarski , debido al trabajo de Sela ^[23] , así como de Olga Kharlampovich y Alexei Myasnikov. ^[24] El estudio de los grupos límite y la introducción del lenguaje y la maquinaria de la geometría algebraica no conmutativa ganaron prominencia.
• Interacciones con la informática, la teoría de la complejidad y la teoría de los lenguajes formales. Este tema se ejemplifica con el desarrollo de la teoría de los grupos automáticos , ^[25] una noción que impone ciertas condiciones geométricas y teóricas del lenguaje sobre la operación de multiplicación en un grupo finitamente generado.
• El estudio de desigualdades isoperimétricas, funciones de Dehn y sus generalizaciones para grupos finitamente presentados. Esto incluye, en particular, el trabajo de Jean-Camille Birget, Aleksandr Olʹshanskiĭ, Eliyahu Rips y Mark Sapir ^{[26] [27]} que caracterizan esencialmente las posibles funciones de Dehn de grupos finitamente presentados, así como resultados que proporcionan construcciones explícitas de grupos con fracciones. Funciones de Dehn. ^[28]
• La teoría de las descomposiciones torales o JSJ para 3 variedades fue llevada originalmente a un entorno teórico de grupos por Peter Kropholler. ^[29] Esta noción ha sido desarrollada por muchos autores tanto para grupos finitamente presentados como para grupos finitamente generados. ^{[30] [31] [32] [33] [34]}
• Conexiones con el análisis geométrico , el estudio de las álgebras C* asociadas a grupos discretos y de la teoría de la probabilidad libre. Este tema está representado, en particular, por un progreso considerable en la conjetura de Novikov y la conjetura de Baum-Connes y el desarrollo y estudio de nociones relacionadas de teoría de grupos, como la adaptabilidad topológica, la dimensión asintótica, la incrustabilidad uniforme en espacios de Hilbert , la propiedad de desintegración rápida, y así sucesivamente (ver, por ejemplo, ^{[35] [36] [37]} ).
• Interacciones con la teoría del análisis cuasiconformal en espacios métricos, particularmente en relación con la conjetura de Cannon sobre la caracterización de grupos hiperbólicos con el límite de Gromov homeomorfo a la 2 esfera. ^{[38] [39] [40]}
• Reglas de subdivisión finita , también en relación con la conjetura de Cannon . ^[41]
• Interacciones con dinámica topológica en los contextos del estudio de acciones de grupos discretos en varios espacios compactos y compactaciones de grupos, particularmente métodos de grupos de convergencia ^{[42] [43]}
• Desarrollo de la teoría de acciones grupales sobre árboles (particularmente la máquina Rips ), y sus aplicaciones. ^[44] ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El estudio de acciones grupales en espacios CAT(0) y complejos cúbicos CAT(0), ^[45] motivado por ideas de la geometría de Alexandrov.
• Interacciones con topología de baja dimensión y geometría hiperbólica, particularmente el estudio de grupos de 3 variedades (ver, por ejemplo, ^[46] ), mapeo de grupos de clases de superficies, grupos trenzados y grupos kleinianos .
• Introducción de métodos probabilísticos para estudiar propiedades algebraicas de objetos teóricos de grupos "aleatorios" (grupos, elementos de grupo, subgrupos, etc.). Un desarrollo particularmente importante aquí es el trabajo de Gromov, quien utilizó métodos probabilísticos para demostrar ^[47] la existencia de un grupo generado finitamente que no es uniformemente integrable en un espacio de Hilbert. Otros desarrollos notables incluyen la introducción y el estudio de la noción de complejidad de casos genéricos ^[48] para algoritmos matemáticos de teoría de grupos y otros, y resultados de rigidez algebraica para grupos genéricos. ^[49]
• El estudio de grupos de autómatas y grupos de monodromía iterados como grupos de automorfismos de árboles con raíces infinitas. En particular, los grupos de crecimiento intermedio de Grigorchuk y sus generalizaciones aparecen en este contexto. ^{[50] [51]}
• El estudio de las propiedades teóricas de medidas de acciones grupales en espacios de medidas , en particular la introducción y el desarrollo de las nociones de equivalencia de medidas y equivalencia de órbitas, así como generalizaciones teóricas de medidas de la rigidez de Mostow. ^{[52] [53]}
• El estudio de representaciones unitarias de grupos discretos y la propiedad de Kazhdan (T) ^[54]
• El estudio de Out ( F _n ) (el grupo de automorfismos externos de un grupo libre de rango n ) y de automorfismos individuales de grupos libres. La introducción y el estudio del espacio exterior de Culler-Vogtmann ^[55] y de la teoría de las vías del tren ^[56] para automorfismos de grupos libres jugaron aquí un papel especialmente destacado.
• Desarrollo de la teoría de Bass-Serre , en particular varios resultados de accesibilidad ^{[57] [58] [59]} y la teoría de las celosías de árboles. ^[60] Generalizaciones de la teoría de Bass-Serre, como la teoría de complejos de grupos. ^[45]
• El estudio de paseos aleatorios en grupos y la teoría de límites relacionada, particularmente la noción de límite de Poisson (ver, por ejemplo, ^[61] ). El estudio de la amabilidad y de grupos cuyo estado de amabilidad aún se desconoce.
• Interacciones con la teoría de grupos finitos, particularmente avances en el estudio del crecimiento de subgrupos . ^[62]
• Estudiar subgrupos y redes en grupos lineales , como y de otros grupos de Lie, mediante métodos geométricos (por ejemplo, edificios ), herramientas algebro-geométricas (por ejemplo, grupos algebraicos y variedades de representación), métodos analíticos (por ejemplo, representaciones unitarias en espacios de Hilbert) y aritmética. métodos. ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$
• Cohomología de grupo , utilizando métodos algebraicos y topológicos, particularmente involucrando la interacción con la topología algebraica y el uso de ideas teóricas morse en el contexto combinatorio; métodos homológicos y cohomológicos a gran escala o burdos (ver, por ejemplo, ^{[63] ).}
• Progreso en temas tradicionales de teoría combinatoria de grupos, como el problema de Burnside , ^{[64] [65]} el estudio de los grupos de Coxeter y los grupos de Artin , etc. (los métodos utilizados para estudiar estas cuestiones actualmente son a menudo geométricos y topológicos).

Ejemplos

Los siguientes ejemplos se estudian a menudo en la teoría de grupos geométricos:

• Grupos amigables
• Grupos de Burnside gratis
• El grupo cíclico infinito Z
• Grupos libres
• Productos gratis
• Grupos de automorfismos externos Out(F _n ) (a través del espacio exterior )
• Grupos hiperbólicos
• Mapeo de grupos de clases (automorfismos de superficies)
• Grupos simétricos
• Grupos de trenzas
• Grupos de coxeter
• Grupos de General Artín
• Grupo F de Thompson
• Grupos CAT(0)
• Grupos aritméticos
• Grupos automáticos
• Grupos fucsianos , grupos kleinianos y otros grupos que actúan propiamente de forma discontinua en espacios simétricos, en particular redes en grupos de Lie semisimples.
• Grupos de fondos de pantalla
• Baumslag – Grupos solitarios
• Grupos fundamentales de gráficas de grupos.
• grupo grigorchuk

Ver también

• El lema del ping-pong , una forma útil de exhibir un grupo como producto gratuito
• grupo amigable
• Transformación de Nielsen
• Transformación de Tietze

Referencias

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Libros y monografías

Estos textos cubren la teoría de grupos geométricos y temas relacionados.

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• Huevas, John (2003). Conferencias sobre geometría gruesa. Ciclo de conferencias universitarias. vol. 31. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3332-2.

enlaces externos

• Página de teoría de grupos geométricos de Jon McCammond
• ¿Qué es la teoría de grupos geométricos? Por Daniel Wise
• Problemas abiertos en teoría combinatoria y geométrica de grupos.
• Teoría de grupos geométricos Tema en arxiv.org