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Maquina de rasgar

En teoría geométrica de grupos , la máquina de Rips es un método para estudiar la acción de los grupos en árboles R. Fue introducida en un trabajo inédito de Eliyahu Rips en 1991 aproximadamente.

Un árbol R es un espacio métrico conexo de forma única en el que cada arco es isométrico a un intervalo real. Rips demostró la conjetura de Morgan y Shalen [1] de que cualquier grupo finitamente generado que actúe libremente en un árbol R es un producto libre de grupos abelianos y de superficie libres. [2]

Acciones de los grupos de superficie en los árboles R

Según la teoría de Bass-Serre , un grupo que actúa libremente en un árbol simplicial es libre. Esto ya no es cierto para los árboles R , ya que Morgan y Shalen demostraron que los grupos fundamentales de superficies de característica de Euler menor que −1 también actúan libremente en un árbol R. [1] Demostraron que el grupo fundamental de una superficie cerrada conexa S actúa libremente en un árbol R si y solo si S no es una de las 3 superficies no orientables de característica de Euler ≥−1.

Aplicaciones

La máquina de Rips asigna a una acción isométrica estable de un grupo finitamente generado G una cierta aproximación de "forma normal" de esa acción por una acción estable de G sobre un árbol simplicial y por lo tanto una división de G en el sentido de la teoría de Bass-Serre. Las acciones de grupo sobre árboles reales surgen naturalmente en varios contextos en topología geométrica : por ejemplo, como puntos límite del espacio de Teichmüller [3] (cada punto en el límite de Thurston del espacio de Teichmüller está representado por una laminación geodésica medida en la superficie; esta laminación se eleva hasta la cubierta universal de la superficie y un objeto naturalmente dual para esa elevación es un -árbol dotado de una acción isométrica del grupo fundamental de la superficie), como límites de Gromov-Hausdorff de acciones de grupo kleinianas reescaladas apropiadamente , [4] [5] y así sucesivamente. El uso de la maquinaria de -árboles proporciona atajos sustanciales en las demostraciones modernas del teorema de hiperbolización de Thurston para 3-variedades de Haken . [5] [6] De manera similar, los árboles - juegan un papel clave en el estudio del espacio exterior de Culler - Vogtmann [7] [8] así como en otras áreas de la teoría geométrica de grupos ; por ejemplo, los conos asintóticos de grupos a menudo tienen una estructura similar a un árbol y dan lugar a acciones grupales en árboles reales . [9] [10] El uso de árboles -, junto con la teoría de Bass-Serre, es una herramienta clave en el trabajo de Sela sobre la solución del problema del isomorfismo para grupos hiperbólicos de palabras (sin torsión) , la versión de Sela de la teoría de descomposición JSJ y el trabajo de Sela sobre la conjetura de Tarski para grupos libres y la teoría de grupos límite. [11] [12]

Referencias

  1. ^ ab Morgan, John W.; Shalen, Peter B. (1991), "Acciones libres de grupos de superficies en árboles R ", Topología , 30 (2): 143–154, doi : 10.1016/0040-9383(91)90002-L , ISSN  0040-9383, MR  1098910
  2. ^ Bestvina, Mladen; Feighn, Mark (1995), "Acciones estables de grupos en árboles reales", Inventiones Mathematicae , 121 (2): 287–321, doi : 10.1007/BF01884300 , ISSN  0020-9910, MR  1346208, S2CID  122048815
  3. ^ Skora, Richard (1990), "Divisiones de superficies", Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 23 (1): 85–90, doi : 10.1090/S0273-0979-1990-15907-5
  4. ^ Bestvina, Mladen (1988), "Degeneraciones del espacio hiperbólico", Duke Mathematical Journal , 56 (1): 143–161, doi :10.1215/S0012-7094-88-05607-4
  5. ^ ab Kapovich, Michael (2001), Variedades hiperbólicas y grupos discretos , Progress in Mathematics, vol. 183, Birkhäuser, Boston, MA, doi : 10.1007/978-0-8176-4913-5 , ISBN 0-8176-3904-7
  6. ^ Otal, Jean-Pierre (2001), El teorema de hiperbolización para variedades 3-fibrosas , SMF/AMS Texts and Monographs, vol. 7, American Mathematical Society, Providence, RI y Société Mathématique de France, París, ISBN 0-8218-2153-9
  7. ^ Cohen, Marshall; Lustig, Martin (1995), "Acciones de grupos muy pequeños en árboles y automorfismos de torsión de Dehn", Topology , 34 (3): 575–617, doi : 10.1016/0040-9383(94)00038-M
  8. ^ Levitt, Gilbert; Lustig, Martin (2003), "Los automorfismos irreducibles de F n tienen dinámica norte-sur en el espacio exterior compactado", Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu , 2 (1): 59–72, doi :10.1017/S1474748003000033, S2CID  120675231
  9. ^ Druţu, Cornelia ; Sapir, Mark (2005), "Espacios graduados en árboles y conos asintóticos de grupos (con un apéndice de Denis Osin y Mark Sapir.)", Topology , 44 (5): 959–1058, arXiv : math/0405030 , doi : 10.1016/j.top.2005.03.003
  10. ^ Druţu, Cornelia ; Sapir, Mark (2008), "Grupos que actúan en espacios graduados en árbol y divisiones de grupos relativamente hiperbólicos", Advances in Mathematics , 217 (3): 1313–1367, doi : 10.1016/j.aim.2007.08.012
  11. ^ Sela, Zlil (2002), "Geometría diofántica sobre grupos y la teoría elemental de grupos libres e hiperbólicos", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos , vol. II, Pekín: Higher Education Press, Pekín, págs. 87–92, ISBN 7-04-008690-5
  12. ^ Sela, Zlil (2001), "Geometría diofántica sobre grupos. Diagramas de I. Makanin-Razborov", Publicaciones Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 93 : 31–105, doi : 10.1007/s10240-001-8188-y

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