Límite de Gromov

El gráfico de Cayley de un grupo libre con dos generadores. Se trata de un grupo hiperbólico cuyo límite de Gromov es un conjunto de Cantor . Los grupos hiperbólicos y sus límites son temas importantes en la teoría de grupos geométricos , al igual que los gráficos de Cayley.

Teselación hiperbólica triangular (6,4,2). El grupo de triángulos correspondiente a esta teselación tiene un círculo como límite de Gromov.

En matemáticas, el límite de Gromov de un espacio δ-hiperbólico (especialmente un grupo hiperbólico ) es un concepto abstracto que generaliza la esfera límite del espacio hiperbólico . Conceptualmente, el límite de Gromov es el conjunto de todos los puntos en el infinito . Por ejemplo, el límite de Gromov de la línea real son dos puntos, que corresponden al infinito positivo y negativo.

Definición

Existen varias definiciones equivalentes del límite de Gromov de un espacio δ-hiperbólico geodésico y propio. Una de las más comunes utiliza clases de equivalencia de rayos geodésicos . ^[1]

Elija un punto de un espacio métrico hiperbólico como origen. Un rayo geodésico es una trayectoria dada por una isometría tal que cada segmento es una trayectoria de longitud más corta desde hasta . ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma :[0,\infty )\rightarrow X}$ ${\displaystyle \gamma ([0,t])}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$

Se define que dos geodésicas son equivalentes si existe una constante tal que para todo . La clase de equivalencia de se denota . ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))\leq K}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle [\gamma ]}$

El límite de Gromov de un espacio métrico hiperbólico propio y geodésico es el conjunto es un rayo geodésico en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial X=\{[\gamma ]|\gamma }$ ${\displaystyle X\}}$

Topología

Es útil utilizar el producto de Gromov de tres puntos. El producto de Gromov de tres puntos en un espacio métrico es . En un árbol (teoría de grafos) , esto mide cuánto tiempo permanecen juntos los caminos desde hasta y antes de divergir. Dado que los espacios hiperbólicos son como árboles, el producto de Gromov mide cuánto tiempo permanecen juntos los caminos geodésicos desde hasta y antes de divergir. ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle (x,y)_{z}=1/2(d(x,z)+d(y,z)-d(x,y))}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Dado un punto en el límite de Gromov, definimos los conjuntos en los que hay rayos geodésicos con y . Estos conjuntos abiertos forman una base para la topología del límite de Gromov. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V(p,r)=\{q\in \partial X|}$ ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ ${\displaystyle [\gamma _{1}]=p,[\gamma _{2}]=q}$ ${\displaystyle \lim \inf _{s,t\rightarrow \infty }(\gamma _{1}(s),\gamma _{2}(t))_{O}\geq r\}}$

Estos conjuntos abiertos son simplemente el conjunto de rayos geodésicos que siguen un rayo geodésico fijo hasta una distancia antes de divergir. ${\displaystyle r}$

Esta topología convierte el límite de Gromov en un espacio metrizable compacto .

El número de extremos de un grupo hiperbólico es el número de componentes del límite de Gromov.

Límite de Gromov de un grupo

El límite de Gromov es un invariante cuasi-isométrico ; es decir, si dos espacios métricos hiperbólicos de Gromov son cuasi-isométricos, entonces la cuasi-isometría entre ellos induce un homeomorfismo entre sus límites. ^{[2] [3]} Esto es importante porque los homeomorfismos de espacios compactos son mucho más fáciles de entender que las cuasi-isometrías de espacios.

Esta invariancia permite definir el límite de Gromov de un grupo hiperbólico de Gromov : si es un grupo de este tipo, su límite de Gromov es por definición el de cualquier espacio geodésico propio sobre el que actúa de forma propiamente discontinua y cocompacta (por ejemplo, su grafo de Cayley ). Este está bien definido como un espacio topológico por la invariancia bajo cuasi-isometría y el lema de Milnor-Schwarz . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Ejemplos

• El límite de Gromov de un árbol regular de grado d≥3 es un espacio de Cantor .
• El límite de Gromov del espacio n hiperbólico es una esfera de dimensión (n-1) .
• El límite de Gromov del grupo fundamental de una superficie de Riemann hiperbólica compacta es el círculo unitario.
• El límite de Gromov de la mayoría de los grupos hiperbólicos es una esponja de Menger . ^[4]

Variaciones

Límite visual del espacio CAT(0)

Para un espacio CAT(0) completo X , el límite visual de X , al igual que el límite de Gromov del espacio δ-hiperbólico, consiste en una clase de equivalencia de rayos geodésicos asintóticos. Sin embargo, el producto de Gromov no se puede utilizar para definir una topología en él. Por ejemplo, en el caso de un plano, dos rayos geodésicos cualesquiera que salgan de un punto que no se dirijan en direcciones opuestas tendrán un producto de Gromov infinito con respecto a ese punto. El límite visual está dotado, en cambio, de la topología de cono . Fijemos un punto o en X . Cualquier punto límite se puede representar mediante un único rayo geodésico que salga de o . Dado un rayo que salga de o , y números positivos t > 0 y r > 0, una base de vecindad en el punto límite viene dada por conjuntos de la forma ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle [\gamma ]}$

${\displaystyle U(\gamma ,t,r)=\{[\gamma _{1}]\in \partial X|\gamma _{1}(0)=o,d(\gamma _{1}(t),\gamma (t))<r\}.}$

La topología de cono tal como se define anteriormente es independiente de la elección de o .

Si X es propio , entonces el límite visual con la topología del cono es compacto . Cuando X es a la vez CAT(0) y espacio δ-hiperbólico geodésico propio, la topología del cono coincide con la topología del límite de Gromov. ^[5]

Conjetura de Cannon

La conjetura de Cannon se refiere a la clasificación de grupos con una 2-esfera en el infinito:

Conjetura de Cannon : Todo grupo hiperbólico de Gromov con una 2-esfera en el infinito actúa geométricamente en el 3-espacio hiperbólico . ^[6]

Se sabe que el análogo de esta conjetura es verdadero para las 1-esferas y falso para las esferas de todas las dimensiones mayores que 2.

Notas

1. Kapovich y Benakli 2002
2. Coornaert, Delzant y Papadopoulos 1990
3. de la Harpe y Ghys 1990
4. Champetier 1995
5. Bridson y Haefliger 1999
6. Cañón 1994

Referencias

• Bridson, Martín R.; Haefliger, André (1999), Espacios métricos de curvatura no positiva , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 319, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64324-9, Sr.  1744486
• Cannon, James W. (1994), "El teorema de mapeo combinatorio de Riemann", Acta Mathematica , 173 (2): 155–234, doi : 10.1007/bf02398434
• Champetier, C. (1995), "Propriétés statistiques des groupes de Presentation finie", Avances en Matemáticas , 116 : 197–262, doi : 10.1006/aima.1995.1067
• Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov , Lecture Notes in Mathematics (en francés), vol. 1441, Springer-Verlag, ISBN 3-540-52977-2
• de la Harpe, Pierre; Ghys, Etienne (1990), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (en francés), Birkhäuser
• Gromov, M. (1987), "Grupos hiperbólicos", en S. Gersten (ed.), Ensayos sobre teoría de grupos , Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 8, Springer, págs. 75–263
• Kapovich, Ilya; Benakli, Nadia (2002), "Límites de grupos hiperbólicos", Teoría combinatoria y geométrica de grupos , Matemáticas contemporáneas, vol. 296, págs. 39–93
• Roe, John (2003), Lecciones sobre geometría gruesa , Serie de conferencias universitarias, vol. 31, American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3332-2