Teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos

En la materia matemática de la teoría de grupos , el teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos establece que un grupo finitamente generado tiene más de un extremo si y solo si el grupo admite una descomposición no trivial como un producto libre amalgamado o una extensión HNN sobre un subgrupo finito . En el lenguaje moderno de la teoría de Bass-Serre, el teorema dice que un grupo finitamente generado tiene más de un extremo si y solo si admite una acción no trivial (es decir, sin un punto fijo global) en un árbol simplicial con estabilizadores de aristas finitos y sin inversiones de aristas. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

El teorema fue demostrado por John R. Stallings , primero en el caso libre de torsión (1968) ^[1] y luego en el caso general (1971). ^[2]

Extremos de los gráficos

Sea un grafo conexo donde el grado de cada vértice es finito. Se puede considerar como un espacio topológico dándole la estructura natural de un complejo de celdas unidimensional . Entonces, los extremos de son los extremos de este espacio topológico. A continuación se presenta una definición más explícita del número de extremos de un grafo para completar. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Sea un entero no negativo. Se dice que el grafo satisface si para cada conjunto finito de aristas del grafo tiene como máximo infinitos componentes conexos . Por definición, si y si para cada la afirmación es falsa. Por lo tanto, si es el entero no negativo más pequeño tal que . Si no existe un entero tal que , se pone . El número se llama número de extremos de . ${\displaystyle n\geqslant 0}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle e(\Gamma )\leqslant n}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma -F}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e(\Gamma )=m}$ ${\displaystyle e(\Gamma )\leqslant m}$ ${\displaystyle 0\leqslant n<m}$ ${\displaystyle e(\Gamma )\leqslant n}$ ${\displaystyle e(\Gamma )=m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e(\Gamma )\leqslant n}$ ${\displaystyle n\geqslant 0}$ ${\displaystyle e(\Gamma )\leqslant n}$ ${\displaystyle e(\Gamma )=\infty }$ ${\displaystyle e(\Gamma )}$ ${\displaystyle \Gamma }$

De manera informal, es el número de "componentes conexos en el infinito" de . Si , entonces para cualquier conjunto finito de aristas de existe un conjunto finito de aristas de con tal que tiene exactamente infinitos componentes conexos. Si , entonces para cualquier conjunto finito de aristas de y para cualquier entero existe un conjunto finito de aristas de con tal que tiene al menos infinitos componentes conexos. ${\displaystyle e(\Gamma )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle e(\Gamma )=m<\infty }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle F\subseteq K}$ ${\displaystyle \Gamma -F}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e(\Gamma )=\infty }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle n\geqslant 0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle F\subseteq K}$ ${\displaystyle \Gamma -K}$ ${\displaystyle n}$

Finales de grupos

Sea un grupo finitamente generado . Sea un conjunto generador finito de y sea el grafo de Cayley de con respecto a . El número de extremos de se define como . Un hecho básico en la teoría de los extremos de los grupos dice que no depende de la elección de un conjunto generador finito de , por lo que está bien definido. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma (G,S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)=e(\Gamma (G,S))}$ ${\displaystyle e(\Gamma (G,S))}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)}$

Datos básicos y ejemplos

• Para un grupo finitamente generado tenemos si y sólo si es finito. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)=0}$ ${\displaystyle G}$
• Para el grupo cíclico infinito tenemos ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle e(\mathbb {Z} )=2.}$
• Para el grupo abeliano libre de rango dos tenemos ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle e(\mathbb {Z} ^{2})=1.}$
• Para un grupo libre donde tenemos . ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle 1<|X|<\infty }$ ${\displaystyle e(F(X))=\infty }$

Teoremas de Freudenthal-Hopf

Hans Freudenthal ^[3] e independientemente Heinz Hopf ^[4] establecieron en la década de 1940 los dos hechos siguientes:

• Para cualquier grupo finitamente generado tenemos . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)\in \{0,1,2,\infty \}}$
• Para cualquier grupo finitamente generado tenemos si y sólo si es virtualmente infinito cíclico (es decir, contiene un subgrupo cíclico infinito de índice finito ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)=2}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Charles TC Wall demostró en 1967 el siguiente hecho complementario: ^[5]

• Un grupo es virtualmente cíclico infinito si y sólo si tiene un subgrupo normal finito tal que sea cíclico infinito o diedro infinito . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G/W}$

Cortes y conjuntos casi invariantes

Sea un grupo finitamente generado , sea un conjunto generador finito de y sea el gráfico de Cayley de con respecto a . Para un subconjunto denotado por el complemento de en . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma =\Gamma (G,S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\subseteq G}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle G-A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$

Para un subconjunto , el límite de arista o el co-límite de consiste en todas las aristas (topológicas) de que conectan un vértice de con un vértice de . Nótese que por definición . ${\displaystyle A\subseteq G}$ ${\displaystyle \delta A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \delta A=\delta A^{*}}$

Un par ordenado se denomina corte si es finito. Un corte se denomina esencial si ambos conjuntos y son infinitos. ${\displaystyle (A,A^{*})}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \delta A}$ ${\displaystyle (A,A^{*})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$

Un subconjunto se denomina casi invariante si para cada diferencia simétrica entre y es finita. Es fácil ver que es un corte si y solo si los conjuntos y son casi invariantes (equivalentemente, si y solo si el conjunto es casi invariante). ${\displaystyle A\subseteq G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Ag}$ ${\displaystyle (A,A^{*})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$

Cortes y puntas

Una observación sencilla pero importante dice:

${\displaystyle e(G)>1}$si y sólo si existe al menos un corte esencial en Γ. ${\displaystyle (A,A^{*})}$

Cortes y desdoblamientos sobre grupos finitos

Si donde y son grupos finitamente generados no triviales , entonces el grafo de Cayley de tiene al menos un corte esencial y, por lo tanto , . De hecho, sean y conjuntos generadores finitos para y, en consecuencia, de modo que es un conjunto generador finito para y sea el grafo de Cayley de con respecto a . Sea consiste en el elemento trivial y todos los elementos de cuyas expresiones en forma normal para comienzan con un elemento no trivial de . Por lo tanto, consiste en todos los elementos de cuyas expresiones en forma normal para comienzan con un elemento no trivial de . No es difícil ver que es un corte esencial en Γ de modo que . ${\displaystyle G=H*K}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)>1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S=X\cup Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma =\Gamma (G,S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=H*K}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=H*K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (A,A^{*})}$ ${\displaystyle e(G)>1}$

Una versión más precisa de este argumento muestra que para un grupo finitamente generado : ${\displaystyle G}$

• Si es un producto libre con amalgama donde es un grupo finito tal que y entonces y son finitamente generados y . ${\displaystyle G=H*_{C}K}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\neq H}$ ${\displaystyle C\neq K}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle e(G)>1}$
• Si es una extensión HNN donde , son subgrupos finitos isomorfos de entonces es un grupo finitamente generado y . ${\displaystyle G=\langle H,t|t^{-1}C_{1}t=C_{2}\rangle }$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)>1}$

El teorema de Stallings muestra que lo inverso también es cierto.

Enunciado formal del teorema de Stallings

Sea un grupo finitamente generado . ${\displaystyle G}$

Entonces, si y sólo si se cumple una de las siguientes condiciones: ${\displaystyle e(G)>1}$

• El grupo admite una escisión como producto libre con amalgama donde es un grupo finito tal que y . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=H*_{C}K}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\neq H}$ ${\displaystyle C\neq K}$
• El grupo es una extensión HNN donde y , son subgrupos finitos isomorfos de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\langle H,t|t^{-1}C_{1}t=C_{2}\rangle }$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle H}$

En el lenguaje de la teoría de Bass-Serre, este resultado puede reformularse de la siguiente manera: para un grupo finitamente generado tenemos si y sólo si admite una acción no trivial (es decir, sin un vértice global fijo) en un árbol simplicial con estabilizadores de aristas finitos y sin inversiones de aristas. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)>1}$ ${\displaystyle G}$

Para el caso donde es un grupo finitamente generado libre de torsión , el teorema de Stallings implica que si y solo si admite una descomposición del producto libre apropiada con y no trivial. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)=\infty }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=A*B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Aplicaciones y generalizaciones

• Entre las aplicaciones inmediatas del teorema de Stallings se encuentra una demostración por parte de Stallings ^[6] de una conjetura de larga data de que todo grupo finitamente generado de dimensión cohomológica uno es libre y que todo grupo virtualmente libre y libre de torsión es libre.
• El teorema de Stallings también implica que la propiedad de tener una división no trivial en un subgrupo finito es un invariante cuasi-isométrico de un grupo finitamente generado, ya que el número de extremos de un grupo finitamente generado es fácilmente visible como un invariante cuasi-isométrico. Por esta razón, el teorema de Stallings se considera uno de los primeros resultados en la teoría geométrica de grupos .
• El teorema de Stallings fue un punto de partida para la teoría de accesibilidad de Dunwoody . Se dice que un grupo finitamente generado es accesible si el proceso de división iterada no trivial de sobre subgrupos finitos siempre termina en un número finito de pasos. En la teoría de Bass-Serre se afirma que el número de aristas en una división reducida de como el grupo fundamental de un grafo de grupos con grupos de aristas finitas está limitado por alguna constante que depende de . Dunwoody demostró ^[7] que todo grupo finitamente presentado es accesible pero que existen grupos finitamente generados que no son accesibles. ^[8] Linnell ^[9] demostró que si se limita el tamaño de los subgrupos finitos sobre los que se realizan las divisiones, entonces todo grupo finitamente generado es accesible también en este sentido. Estos resultados a su vez dieron lugar a otras versiones de accesibilidad como la accesibilidad de Bestvina -Feighn ^[10] de grupos finitamente presentados (donde se consideran las llamadas divisiones "pequeñas"), la accesibilidad acilíndrica ^{[11] [12]} , la accesibilidad fuerte ^[13] y otras. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$
• El teorema de Stallings es una herramienta clave para demostrar que un grupo finitamente generado es virtualmente libre si y sólo si puede representarse como el grupo fundamental de un gráfico finito de grupos donde todos los grupos de vértices y aristas son finitos (véase, por ejemplo, ^[14] ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$
• Utilizando el resultado de accesibilidad de Dunwoody, el teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos y el hecho de que si es un grupo finitamente presentado con dimensión asintótica 1 entonces es virtualmente libre ^[15] se puede demostrar ^{[16] que para un} grupo hiperbólico de palabras finitamente presentado el límite hiperbólico de tiene dimensión topológica cero si y sólo si es virtualmente libre. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$
• También se han considerado versiones relativas del teorema de Stallings y extremos relativos de grupos finitamente generados con respecto a subgrupos. Para un subgrupo de un grupo finitamente generado, se define el número de extremos relativos como el número de extremos del grafo de Cayley relativo (el grafo de clase lateral de Schreier ) de con respecto a . El caso donde se llama semidesdoblamiento de sobre . Los primeros trabajos sobre semidesdoblamientos, inspirados en el teorema de Stallings, fueron realizados en los años 1970 y 1980 por Scott, ^[17] Swarup, ^[18] y otros. ^{[19] [20]} El trabajo de Sageev ^[21] y Gerasimov ^[22] en los años 1990 mostró que para un subgrupo la condición corresponde a que el grupo admita una acción isométrica esencial en una cubización CAT(0) donde un subgrupo conmensurable con estabiliza un "hiperplano" esencial (un árbol simplicial es un ejemplo de una cubización CAT(0) donde los hiperplanos son los puntos medios de las aristas). En ciertas situaciones, una semidivisión de este tipo puede promoverse a una división algebraica real, típicamente sobre un subgrupo conmensurable con , como para el caso donde es finito (teorema de Stallings). Otra situación en la que se puede obtener una división real (módulo unas pocas excepciones) es para semidivisiones sobre subgrupos virtualmente policíclicos . Aquí, el caso de semidivisiones de grupos hiperbólicos de palabras sobre subgrupos de dos extremos (cíclicos virtualmente infinitos) fue tratado por Scott-Swarup ^[23] y por Bowditch ^[24] . El caso de semidivisiones de grupos finitamente generados con respecto a subgrupos virtualmente policíclicos es tratado por el teorema del toro algebraico de Dunwoody-Swenson. ^[25] ${\displaystyle H\leqslant G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G,H)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle e(G,H)>1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\leqslant G}$ ${\displaystyle e(G,H)>1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

• Otros han obtenido varias nuevas demostraciones del teorema de Stallings después de la demostración original de Stallings. Dunwoody dio una demostración ^[26] basada en las ideas de cortes de aristas. Más tarde, Dunwoody también dio una demostración del teorema de Stallings para grupos finitos presentados utilizando el método de "pistas" en complejos 2 finitos. ^[7] Niblo obtuvo una demostración ^[27] del teorema de Stallings como consecuencia de la versión relativa de la cubización CAT(0) de Sageev, donde la cubización CAT(0) finalmente se promueve a ser un árbol. El artículo de Niblo también define una obstrucción abstracta de teoría de grupos (que es una unión de clases laterales dobles de en ) para obtener una división real a partir de una semidivisión. También es posible probar el teorema de Stallings para grupos finitamente presentados usando técnicas de geometría de Riemann de superficies mínimas , donde primero se realiza un grupo finitamente presentado como el grupo fundamental de una variedad compacta (ver, por ejemplo, un bosquejo de este argumento en el artículo de revisión de Wall ^[28] ). Gromov esbozó una prueba (ver pp. 228-230 en ^[16] ) donde el argumento de superficies mínimas se reemplaza por un argumento de análisis armónico más fácil y este enfoque fue llevado más allá por Kapovich para cubrir el caso original de grupos finitamente generados. ^{[15] [29]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 4}$

Véase también

• Producto gratuito con amalgama
• Extensión HNN
• Teoría de Bass-Serre
• Gráfica de grupos
• Teoría de grupos geométricos

Notas

1. John R. Stallings. Sobre grupos libres de torsión con infinitos extremos. Annals of Mathematics (2), vol. 88 (1968), págs. 312–334
2. John Stallings. Teoría de grupos y variedades tridimensionales. Conferencia James K. Whittemore sobre matemáticas dictada en la Universidad de Yale en 1969. Yale Mathematical Monographs, 4. Yale University Press, New Haven, Connecticut-Londres, 1971.
3. H. Freudenthal. Über die Enden diskreter Räume und Gruppen. Comentario. Matemáticas. Helv. 17, (1945). 1-38.
4. H. Hopf. Enden ofender Räume und unendliche diskontinuierliche Gruppen. Comentario. Matemáticas. Helv. 16, (1944). 81-100
5. Lema 4.1 en CTC Wall, Poincaré Complexes: I. Annals of Mathematics, Segunda serie, vol. 86, n.º 2 (septiembre de 1967), págs. 213-245
6. John R. Stallings. Los grupos de dimensión 1 son localmente libres. Boletín de la American Mathematical Society, vol. 74 (1968), págs. 361–364
7. MJ Dunwoody. La accesibilidad de grupos finitamente presentados. Inventiones Mathematicae , vol. 81 (1985), núm. 3, págs. 449-457
8. MJ Dunwoody. Un grupo inaccesible . Teoría geométrica de grupos, vol. 1 (Sussex, 1991), págs. 75-78, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 181, Cambridge University Press, Cambridge, 1993; ISBN  0-521-43529-3
9. Linnell, PA (1983). "Sobre la accesibilidad de los grupos". Journal of Pure and Applied Algebra . 30 (1): 39–46. doi : 10.1016/0022-4049(83)90037-3 . MR  0716233.
10. M. Bestvina y M. Feighn. Limitación de la complejidad de las acciones de grupos simpliciales en árboles. Inventiones Mathematicae , vol. 103 (1991), núm. 3, págs. 449–469
11. Z. Sela. Accesibilidad cilíndrica para grupos. Invenciones Mathematicae , vol. 129 (1997), núm. 3, págs. 527–565
12. T. Delzant. Sur l'accessibilité acylindrique des groupes de présentation finie. Archivado el 5 de junio de 2011 en la Wayback Machine Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier, vol. 49 (1999), núm. 4, págs. 1215-1224
13. Delzant, Thomas; Potyagailo, Leonid (2001). "Accessibilité hiérarchique des groupes de présentation finie". Topología . 40 (3): 617–629. doi : 10.1016/S0040-9383(99)00078-6 . SEÑOR  1838998.
14. H. Bass. Teoría de recubrimientos para grafos de grupos. Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 89 (1993), núm. 1-2, págs. 3-47
15. Gentimis Thanos, Dimensión asintótica de grupos finitamente presentados, http://www.ams.org/journals/proc/2008-136-12/S0002-9939-08-08973-9/home.html
16. M. Gromov, Grupos hiperbólicos, en "Ensayos sobre teoría de grupos" (GM Gersten, ed.), MSRI Publ. 8, 1987, págs. 75-263
17. Scott, Peter (1977–1978). "Extremos de pares de grupos". Journal of Pure and Applied Algebra . 11 (1–3): 179–198. doi :10.1016/0022-4049(77)90051-2. MR  0487104.
18. Swarup, G. Ananda (1977–1978). "Versión relativa de un teorema de Stallings". Revista de álgebra pura y aplicada . 11 (1–3): 75–82. doi : 10.1016/0022-4049(77)90042-1 . MR  0466326.
19. H. Müller. Teoremas de descomposición para pares de grupos. Mathematische Zeitschrift, vol. 176 (1981), núm. 2, págs. 223–246
20. Kropholler, PH; Roller, MA (1989). "Fines relativos y grupos de dualidad". Revista de álgebra pura y aplicada . 61 (2): 197–210. doi :10.1016/0022-4049(89)90014-5. MR  1025923.
21. Michah Sageev. Extremos de pares de grupos y complejos cúbicos de curvatura no positiva. Actas de la London Mathematical Society (3), vol. 71 (1995), n.º 3, págs. 585-617
22. VN Gerasimov. Semidesdoblamientos de grupos y acciones sobre cubos. (en ruso) Algebra, geometría, análisis y física matemática (Novosibirsk, 1996), págs. 91-109, 190, Izdat. Ross. Akad. Nauk Sib. Otd. Inst. Mat., Novosibirsk, 1997
23. GP Scott y GA Swarup. Un teorema del anillo algebraico. Archivado el 15 de julio de 2007 en Wayback Machine. Pacific Journal of Mathematics, vol. 196 (2000), n.º 2, págs. 461–506
24. BH Bowditch. Puntos de corte y desdoblamientos canónicos de grupos hiperbólicos. Acta Mathematica , vol. 180 (1998), núm. 2, págs. 145–186
25. MJ Dunwoody y EL Swenson. El teorema algebraico del toroide. Invenciones Mathematicae , vol. 140 (2000), núm. 3, págs. 605–637
26. MJ Dunwoody. Recorte de gráficos. Combinatorica, vol. 2 (1982), núm. 1, págs. 15-23
27. Graham A. Niblo. Una demostración geométrica del teorema de Stallings sobre grupos con más de un extremo. Geometriae Dedicata , vol. 105 (2004), pp. 61–76
28. CTC Wall. La geometría de los grupos abstractos y sus desdoblamientos. Revista Matemática Complutense vol. 16(2003), no. 1, pp. 5–101
29. M. Kapovich. Energía de funciones armónicas y prueba de Gromov del teorema de Stallings, preimpresión, 2007, arXiv:0707.4231