Extensión HNN

Construcción de la teoría combinatoria de grupos

En matemáticas , la extensión HNN es una construcción importante de la teoría de grupos combinatorios .

Introducido en un artículo de 1949 Embedding Theorems for Groups ^[1] por Graham Higman , Bernhard Neumann y Hanna Neumann , incrusta un grupo dado G en otro grupo G' , de tal manera que dos subgrupos isomorfos dados de G son conjugados (a través de un isomorfismo dado) en G' .

Construcción

Sea G un grupo con presentación , y sea un isomorfismo entre dos subgrupos de G . Sea t un nuevo símbolo que no está en S , y definamos ${\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle \alpha \colon H\to K}$

${\displaystyle G*_{\alpha }=\left\langle S,t\mid R,tht^{-1}=\alpha (h),\forall h\in H\right\rangle .}$

El grupo se denomina extensión HNN de G con respecto a α. El grupo original G se denomina grupo base para la construcción, mientras que los subgrupos H y K son los subgrupos asociados . El nuevo generador t se denomina letra estable . ${\displaystyle G*_{\alpha }}$

Propiedades clave

Dado que la presentación para contiene todos los generadores y relaciones de la presentación para G , hay un homomorfismo natural, inducido por la identificación de generadores, que lleva a G a . Higman, Neumann y Neumann demostraron que este morfismo es inyectivo, es decir, una incrustación de G en . Una consecuencia es que dos subgrupos isomorfos de un grupo dado siempre son conjugados en algún sobregrupo ; el deseo de demostrar esto fue la motivación original para la construcción. ${\displaystyle G*_{\alpha }}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$

El lema de Britton

Una propiedad clave de las extensiones HNN es un teorema de forma normal conocido como Lema de Britton . ^[2] Sea como se indica arriba y sea w el siguiente producto en : ${\displaystyle G*_{\alpha }}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$

${\displaystyle w=g_{0}t^{\varepsilon _{1}}g_{1}t^{\varepsilon _{2}}\cdots g_{n-1}t^{\varepsilon _{n}}g_{n},\qquad g_{i}\in G,\varepsilon _{i}=\pm 1.}$

El lema de Britton puede enunciarse de la siguiente manera:

Lema de Britton. Si w = 1 en G ∗ _α entonces

• o bien y g ₀ = 1 en G ${\displaystyle n=0}$
• o y para algún i ∈ {1, ..., n −1} se cumple una de las siguientes condiciones: ${\displaystyle n>0}$

1. ε _i = 1, ε _{i +1} = −1, g _i ∈ H ,
2. ε _i = −1, ε _{i +1} = 1, g _i ∈ K .

En términos contrapositivos, el lema de Britton toma la siguiente forma:

Lema de Britton (forma alternativa). Si w es tal que

• o bien y g ₀ ≠ 1 ∈ G , ${\displaystyle n=0}$
• o y el producto w no contiene subcadenas de la forma tht ⁻¹ , donde h ∈ H y de la forma t ⁻¹ kt donde k ∈ K , ${\displaystyle n>0}$

Luego en . ${\displaystyle w\neq 1}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$

Consecuencias del lema de Britton

La mayoría de las propiedades básicas de las extensiones HNN se desprenden del lema de Britton. Estas consecuencias incluyen los siguientes hechos:

• El homomorfismo natural de G a es inyectivo, de modo que podemos pensar que contiene a G como un subgrupo . ${\displaystyle G*_{\alpha }}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$
• Todo elemento de orden finito en es conjugado a un elemento de G . ${\displaystyle G*_{\alpha }}$
• Todo subgrupo finito de es conjugado a un subgrupo finito de G . ${\displaystyle G*_{\alpha }}$
• Si contiene un elemento tal que no está contenido en ni para ningún entero , entonces contiene un subgrupo isomorfo a un grupo libre de rango dos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{k}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$

Aplicaciones y generalizaciones

Aplicada a la topología algebraica , la extensión HNN construye el grupo fundamental de un espacio topológico X que ha sido "pegado" sobre sí mismo mediante una aplicación f : X → X (véase, por ejemplo, Fibrado superficial sobre el círculo ). Por lo tanto, las extensiones HNN describen el grupo fundamental de un espacio autopegado de la misma manera que los productos libres con amalgamación lo hacen para dos espacios X e Y pegados a lo largo de un subespacio común conexo, como en el teorema de Seifert-van Kampen . Estas dos construcciones permiten la descripción del grupo fundamental de cualquier pegado geométrico razonable. Esto se generaliza en la teoría de Bass-Serre de grupos que actúan sobre árboles, construyendo grupos fundamentales de grafos de grupos . ^{[3] [4]}

Las extensiones HNN desempeñan un papel clave en la prueba de Higman del teorema de incrustación de Higman , que establece que todo grupo presentado recursivamente y generado finitamente puede incrustarse homomórficamente en un grupo presentado finitamente . La mayoría de las pruebas modernas del teorema de Novikov-Boone sobre la existencia de un grupo presentado finitamente con un problema verbal algorítmicamente indecidible también utilizan sustancialmente extensiones HNN.

La idea de la extensión HNN se ha extendido a otras partes del álgebra abstracta , incluida la teoría del álgebra de Lie .

Véase también

• Ampliación de grupo

Referencias

1. Higman, Graham ; Neumann, Bernhard H. ; Neumann, Hanna (1949). "Teoremas de incrustación para grupos". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . s1-24 (4): 247–254. doi :10.1112/jlms/s1-24.4.247.
2. Roger C. Lyndon y Paul E. Schupp . Combinatorial Group Theory. Springer-Verlag, Nueva York, 2001. Serie "Classics in Mathematics", reimpresión de la edición de 1977. ISBN 978-3-540-41158-1 ; Cap. IV. Productos libres y extensiones HNN. 
3. Serre, Jean-Pierre (1980), Árboles. Traducido del francés por John Stillwell , Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-10103-9
4. Warren Dicks; MJ Dunwoody. Grupos que actúan sobre grafos . p. 14. El grupo fundamental de grafos de grupos se puede obtener realizando sucesivamente un producto libre con amalgama para cada arista en el subárbol máximo y luego una extensión HNN para cada arista que no esté en el subárbol máximo.