Producto gratuito

Operación que combina grupos

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , el producto libre es una operación que toma dos grupos G y H y construye un nuevo grupo G ∗ H . El resultado contiene tanto a G como a H como subgrupos , es generado por los elementos de estos subgrupos y es el grupo “ universal ” que tiene estas propiedades, en el sentido de que dos homomorfismos cualesquiera de G y H en un grupo K se factorizan únicamente a través de un homomorfismo de G ∗ H a K . A menos que uno de los grupos G y H sea trivial, el producto libre siempre es infinito. La construcción de un producto libre es similar en espíritu a la construcción de un grupo libre (el grupo universal con un conjunto dado de generadores).

El producto libre es el coproducto en la categoría de grupos . Es decir, el producto libre juega el mismo papel en la teoría de grupos que la unión disjunta en la teoría de conjuntos , o que la suma directa en la teoría de módulos . Incluso si los grupos son conmutativos, su producto libre no lo es, a menos que uno de los dos grupos sea el grupo trivial . Por lo tanto, el producto libre no es el coproducto en la categoría de grupos abelianos .

El producto libre es importante en topología algebraica debido al teorema de van Kampen , que establece que el grupo fundamental de la unión de dos espacios topológicos conexos cuya intersección también es conexa es siempre un producto libre amalgamado de los grupos fundamentales de los espacios. En particular, el grupo fundamental de la suma en cuña de dos espacios (es decir, el espacio obtenido al unir dos espacios en un único punto) es, en ciertas condiciones dadas en el teorema de Seifert van-Kampen, el producto libre de los grupos fundamentales de los espacios.

Los productos libres también son importantes en la teoría de Bass-Serre , el estudio de grupos que actúan por automorfismos en árboles . Específicamente, cualquier grupo que actúe con estabilizadores de vértices finitos en un árbol puede construirse a partir de grupos finitos utilizando productos libres amalgamados y extensiones HNN . Utilizando la acción del grupo modular en una cierta teselación del plano hiperbólico , se deduce de esta teoría que el grupo modular es isomorfo al producto libre de grupos cíclicos de órdenes 4 y 6 amalgamados sobre un grupo cíclico de orden 2.

Construcción

Si G y H son grupos, una palabra en G y H es una secuencia de la forma

${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n},}$

donde cada s _i es un elemento de G o un elemento de H. Una palabra de este tipo se puede reducir mediante las siguientes operaciones:

• Eliminar una instancia del elemento identidad (de G o H ).
• Reemplace un par de la forma g ₁ g ₂ por su producto en G , o un par h ₁ h ₂ por su producto en H .

Cada palabra reducida es una secuencia vacía, contiene exactamente un elemento de G o H , o es una secuencia alternada de elementos de G y elementos de H , por ejemplo

${\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.}$

El producto libre G ∗ H es el grupo cuyos elementos son las palabras reducidas en G y H , bajo la operación de concatenación seguida de reducción.

Por ejemplo, si G es el grupo cíclico infinito y H es el grupo cíclico infinito , entonces cada elemento de G ∗ H es un producto alterno de potencias de x con potencias de y . En este caso, G ∗ H es isomorfo al grupo libre generado por x e y . ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle \langle y\rangle }$

Presentación

Supongamos que

${\displaystyle G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle }$

es una presentación para G (donde S _G es un conjunto de generadores y R _G es un conjunto de relaciones), y supongamos que

${\displaystyle H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle }$

es una presentación para H. Entonces

${\displaystyle G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .}$

Es decir, G ∗ H es generado por los generadores para G junto con los generadores para H , con relaciones que consisten en las relaciones de G junto con las relaciones de H (supongamos aquí que no hay conflictos de notación de modo que éstas son, de hecho, uniones disjuntas ).

Ejemplos

Por ejemplo, supongamos que G es un grupo cíclico de orden 4,

${\displaystyle G=\langle x\mid x^{4}=1\rangle ,}$

y H es un grupo cíclico de orden 5

${\displaystyle H=\langle y\mid y^{5}=1\rangle .}$

Entonces G ∗ H es el grupo infinito

${\displaystyle G*H=\langle x,y\mid x^{4}=y^{5}=1\rangle .}$

Como no existen relaciones en un grupo libre, el producto libre de grupos libres es siempre un grupo libre. En particular,

${\displaystyle F_{m}*F_{n}\cong F_{m+n},}$

donde F _n denota el grupo libre en n generadores.

Otro ejemplo es el grupo modular . Es isomorfo al producto libre de dos grupos cíclicos: ^[1] ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )\cong (\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\ast (\mathbf {Z} /3\mathbf {Z} ).}$

Generalización: Producto libre con amalgama

La construcción más general del producto libre con amalgama es, en consecuencia, un tipo especial de expulsión en la misma categoría . Supóngase que y se dan como antes, junto con monomorfismos (es decir, homomorfismos de grupo inyectivo ): ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \varphi :F\rightarrow G\ \,}$y ${\displaystyle \ \,\psi :F\rightarrow H,}$

donde hay un grupo arbitrario. Comience con el producto libre y adjunte como relaciones ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G*H}$

${\displaystyle \varphi (f)\psi (f)^{-1}=1}$

para cada uno en . En otras palabras, tome el subgrupo normal más pequeño de que contenga todos los elementos del lado izquierdo de la ecuación anterior, que se consideran tácitamente en por medio de las inclusiones de y en su producto libre. El producto libre con amalgama de y , con respecto a y , es el grupo cociente ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G*H}$ ${\displaystyle G*H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle (G*H)/N.\,}$

La amalgama ha obligado a una identificación entre en con en , elemento por elemento. Esta es la construcción necesaria para calcular el grupo fundamental de dos espacios conexos unidos a lo largo de un subespacio conexo por trayectorias, con tomando el papel del grupo fundamental del subespacio. Véase: Teorema de Seifert–van Kampen . ${\displaystyle \varphi (F)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \psi (F)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F}$

Karrass y Solitar han dado una descripción de los subgrupos de un producto libre con amalgama. ^[2] Por ejemplo, los homomorfismos de y hacia el grupo cociente que son inducidos por y son ambos inyectivos, como lo es el homomorfismo inducido de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (G*H)/N}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle F}$

Los productos libres con amalgama y una noción estrechamente relacionada de extensión HNN son bloques de construcción básicos en la teoría de Bass-Serre de grupos que actúan sobre árboles.

En otras ramas

De manera similar, se pueden definir productos libres de otras estructuras algebraicas distintas de los grupos, incluidas las álgebras sobre un cuerpo . Los productos libres de las álgebras de variables aleatorias desempeñan el mismo papel en la definición de " libertad " en la teoría de la probabilidad libre que los productos cartesianos en la definición de la independencia estadística en la teoría de la probabilidad clásica .

Véase también

• Producto directo de grupos
• Coproducto
• Gráfica de grupos
• Teorema del subgrupo de Kurosh
• Forma normal para grupos libres y producto libre de grupos
• Propiedad universal

Referencias

1. Alperin, Roger C. (abril de 1993). "PSL ₂ (Z) = Z ₂ * Z ₃ ". Amer. Math. Monthly . 100 : 385–386. doi :10.1080/00029890.1993.11990418.
2. A. Karrass y D. Solitar (1970) Los subgrupos de un producto libre de dos grupos con un subgrupo amalgamado, Transactions of the American Mathematical Society 150: 227–255.