Forma normal para grupos libres y producto libre de grupos

En matemáticas, particularmente en teoría combinatoria de grupos , una forma normal para un grupo libre sobre un conjunto de generadores o para un producto libre de grupos es una representación de un elemento por un elemento más simple, estando el elemento en el grupo libre o en productos libres. de grupo. En el caso de un grupo libre, estos elementos más simples son palabras reducidas y en el caso de un producto libre de grupos, son secuencias reducidas. Las definiciones precisas de estos se dan a continuación. Resulta que, para un grupo libre y para el producto libre de grupos, existe una forma normal única, es decir, cada elemento es representable por un elemento más simple y esta representación es única. Este es el teorema de la forma normal para los grupos libres y para el producto libre de grupos. La demostración aquí del teorema de la forma normal sigue la idea de Artin y van der Waerden .

Forma Normal para Grupos Libres

Sea un grupo libre con grupo electrógeno . Cada elemento está representado por una palabra donde ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle w=a_{1}\cdots a_{n},}$ ${\displaystyle a_{j}\in S^{\pm },1\leqslant j\leqslant n.}$

Definición. Una palabra se llama reducida si no contiene ninguna cadena de la forma ${\displaystyle aa^{-1},a\in S^{\pm }.}$

Definición. Una forma normal para un grupo libre con grupo electrógeno es la elección de una palabra reducida en para cada elemento de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$

Teorema de la forma normal para grupos libres. Un grupo libre tiene una forma normal única, es decir, cada elemento está representado por una palabra reducida única. ${\displaystyle G}$

Prueba. Una transformación elemental de una palabra consiste en insertar o eliminar una parte de la forma con . Dos palabras y son equivalentes, , si hay una cadena de transformaciones elementales que van de a . Esta es obviamente una relación de equivalencia en . Sea el conjunto de palabras reducidas. Demostraremos que cada clase de equivalencia de palabras contiene exactamente una palabra reducida. Está claro que cada clase de equivalencia contiene una palabra reducida, ya que la eliminación sucesiva de partes de cualquier palabra debe conducir a una palabra reducida. Bastará entonces demostrar que palabras reducidas y distintas no son equivalentes. Para cada uno, defina una permutación estableciendo if se reduce y if . Sea el grupo de permutaciones de generado por . Sea la extensión multiplicativa de a un mapa . Si entonces ; además se reduce con De ello se deduce que si con se reduce, entonces . ${\displaystyle w\in G}$ ${\displaystyle aa^{-1}}$ ${\displaystyle a\in S^{\pm }}$ ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle w_{1}\equiv w_{2}}$ ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle aa^{-1}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle x\Delta }$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle w(x\Delta )=wx}$ ${\displaystyle wx}$ ${\displaystyle w(x\Delta )=u}$ ${\displaystyle w=ux^{-1}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle x\Delta ,x\in S}$ ${\displaystyle \Delta ^{*}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta ^{*}:W\mapsto P}$ ${\displaystyle u_{1}\equiv u_{2},}$ ${\displaystyle u_{1}\Delta ^{*}=u_{2}\Delta ^{*}}$ ${\displaystyle 1(u\Delta ^{*})=u_{0}}$ ${\displaystyle u_{0}\equiv u.}$ ${\displaystyle u_{1}\equiv u_{2}}$ ${\displaystyle u_{1},u_{2}}$ ${\displaystyle u_{1}=u_{2}}$

Formulario normal para productos gratuitos

Sea el producto libre de grupos y . Cada elemento está representado por dónde para . ${\displaystyle G=A*B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle w\in G}$ ${\displaystyle w=g_{1}\cdots g_{n}}$ ${\displaystyle g_{j}\in A{\text{ or }}B}$ ${\displaystyle 1\leqslant j\leqslant n}$

Definición. Una secuencia reducida es una secuencia tal que for tenemos y no estamos en el mismo factor o . El elemento identidad está representado por el conjunto vacío. ${\displaystyle g_{1},\cdots ,g_{n}}$ ${\displaystyle 1\leqslant j\leqslant n}$ ${\displaystyle g_{j}\in A{\text{ or }}B,g_{j}\neq e}$ ${\displaystyle g_{j},g_{j+1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Definición. Una forma normal de un producto libre de grupos es una representación o elección de una secuencia reducida para cada elemento del producto libre .

Teorema de la forma normal para el producto libre de grupos. Considere el producto libre de dos grupos y . Entonces se cumplen las siguientes dos afirmaciones equivalentes. ${\displaystyle A*B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

(1) Si , donde es una secuencia reducida, entonces en ${\displaystyle w=g_{1}\cdots g_{n},n>0}$ ${\displaystyle g_{1},\cdots ,g_{n}}$ ${\displaystyle w\neq 1}$ ${\displaystyle A*B.}$

(2) Cada elemento de se puede escribir de forma única como donde es una secuencia reducida. ${\displaystyle A*B}$ ${\displaystyle w=g_{1}\cdots g_{n}}$ ${\displaystyle g_{1},\cdots ,g_{n}}$

Prueba

Equivalencia

El hecho de que la segunda afirmación implique la primera es fácil. Ahora supongamos que la primera afirmación se cumple y sea:

${\displaystyle g_{1}\cdots g_{m}=w=h_{1}\cdots h_{n}.}$

Esto implica

${\displaystyle h_{n}^{-1}\cdots h_{1}^{-1}g_{1}\cdots g_{m}=1.}$

Por lo tanto, según la primera afirmación, el lado izquierdo no se puede reducir. Esto sólo puede suceder si, es decir , procediendo inductivamente tenemos y para todos. Esto muestra que ambas afirmaciones son equivalentes. ${\displaystyle h_{1}^{-1}g_{1}=1,}$ ${\displaystyle g_{1}=h_{1}.}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle g_{i}=h_{i}}$ ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n.}$

Prueba de (2)

Sea W el conjunto de todas las sucesiones reducidas en A ∗ B y S ( W ) su grupo de permutaciones. Defina φ  : A → S ( W ) de la siguiente manera:

${\displaystyle \varphi (a)(g_{1},g_{2},\cdots ,g_{m})={\begin{cases}(g_{1},g_{2},\cdots ,g_{m})&{\text{if }}a=1\\(a,g_{1},g_{2},\cdots ,g_{m})&{\text{if }}g_{1}\in B\\(ag_{1},g_{2},\cdots ,g_{m})&{\text{if }}g_{1}\in A{\text{ and }}ag_{1}\neq 1\\(g_{2},g_{3},\cdots ,g_{m})&{\text{if }}g_{1}\in A{\text{ and }}ag_{1}=1.\end{cases}}}$

De manera similar definimos ψ  : B → S ( W ) .

Es fácil comprobar que φ y ψ son homomorfismos. Por lo tanto, por propiedad universal del producto libre obtendremos una función única φ ∗ ψ  : A ∗ B → S ( W ) tal que φ ∗ ψ (id)(1) = id(1) = 1.

Ahora supongamos que donde hay una secuencia reducida, entonces, por lo tanto, w = 1 en A ∗ B , lo que contradice n > 0 . ${\displaystyle w=g_{1}\cdots g_{n},n>0,}$ ${\displaystyle (g_{1},\cdots ,g_{n})}$ ${\displaystyle \phi *\psi (w)(1)=(g_{1},\cdots ,g_{n}).}$

Referencias

• Lyndon, Roger C .; Schupp, Paul E. (1977). Teoría combinatoria de grupos. Saltador. ISBN 978-3-540-41158-1..