La probabilidad libre es una teoría matemática que estudia las variables aleatorias no conmutativas . La propiedad de "libertad" o independencia libre es análoga a la noción clásica de independencia y está relacionada con los productos libres . Esta teoría fue iniciada por Dan Voiculescu alrededor de 1986 para atacar el problema del isomorfismo de los factores de grupo libre, un importante problema sin resolver en la teoría de las álgebras de operadores . Dado un grupo libre en algún número de generadores, podemos considerar el álgebra de von Neumann generada por el álgebra de grupo , que es un factor de tipo II 1. El problema del isomorfismo pregunta si estos son isomorfos para diferentes números de generadores. Ni siquiera se sabe si dos factores de grupo libre son isomorfos. Esto es similar al problema del grupo libre de Tarski , que pregunta si dos grupos libres finitamente generados no abelianos diferentes tienen la misma teoría elemental.
Posteriormente se establecieron conexiones con la teoría de matrices aleatorias , la combinatoria , las representaciones de grupos simétricos , las grandes desviaciones , la teoría de la información cuántica y otras teorías. Actualmente, la probabilidad libre es objeto de una investigación activa.
Por lo general, las variables aleatorias se encuentran en un álgebra unitaria A, como un álgebra C* o un álgebra de von Neumann . El álgebra viene equipada con una expectativa no conmutativa , un funcional lineal φ: A → C tal que φ(1) = 1. Se dice entonces que las subálgebras unitarias A 1 , ..., A m son libremente independientes si la expectativa del producto a 1 ... a n es cero siempre que cada a j tenga expectativa cero, se encuentre en un A k , ningún a j adyacente provenga de la misma subálgebra A k y n sea distinto de cero. Las variables aleatorias son libremente independientes si generan subálgebras unitarias libremente independientes.
Uno de los objetivos de la probabilidad libre (aún no logrado) era construir nuevos invariantes de las álgebras de von Neumann y la dimensión libre se considera un candidato razonable para tal invariante. La principal herramienta utilizada para la construcción de la dimensión libre es la entropía libre.
La relación de la probabilidad libre con las matrices aleatorias es una razón clave para el amplio uso de la probabilidad libre en otras materias. Voiculescu introdujo el concepto de libertad alrededor de 1983 en un contexto de álgebra de operadores; al principio no existía ninguna relación con las matrices aleatorias. Esta conexión fue revelada recién en 1991 por Voiculescu; estaba motivado por el hecho de que la distribución límite que encontró en su teorema del límite central libre había aparecido antes en la ley del semicírculo de Wigner en el contexto de las matrices aleatorias.
La función cumulante libre (introducida por Roland Speicher ) [1] desempeña un papel importante en la teoría. Está relacionada con la red de particiones no cruzadas del conjunto {1, ..., n } de la misma manera en que la función cumulante clásica está relacionada con la red de todas las particiones de ese conjunto.