Convolución libre

La convolución libre es el análogo de probabilidad libre de la noción clásica de convolución de medidas de probabilidad. Debido a la naturaleza no conmutativa de la teoría de probabilidad libre, hay que hablar por separado de la convolución libre aditiva y multiplicativa, que surgen de la suma y multiplicación de variables aleatorias libres (véase más abajo; en el caso clásico, lo que sería el análogo de la convolución multiplicativa libre se puede reducir a la convolución aditiva pasando a logaritmos de variables aleatorias). Estas operaciones tienen algunas interpretaciones en términos de medidas espectrales empíricas de matrices aleatorias . ^[1]

El concepto de convolución libre fue introducido por Dan-Virgil Voiculescu . ^{[2] [3]}

Convolución aditiva libre

Sean y dos medidas de probabilidad en la recta real, y supongamos que es una variable aleatoria en un espacio de probabilidad no conmutativo con ley y es una variable aleatoria en el mismo espacio de probabilidad no conmutativo con ley . Supongamos finalmente que y son libremente independientes . Entonces la convolución aditiva libre es la ley de . Interpretación de matrices aleatorias : si y son algunas independientes por matrices aleatorias hermíticas (resp. simétricas reales) tales que al menos una de ellas es invariante, en ley, bajo conjugación por cualquier matriz unitaria (resp. ortogonal) y tal que las medidas espectrales empíricas de y tienden respectivamente a y como tiende a infinito, entonces la medida espectral empírica de tiende a . ^[4] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$ ${\displaystyle X+Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A+B}$ ${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$

En muchos casos, es posible calcular la medida de probabilidad explícitamente utilizando técnicas de análisis complejo y la transformada R de las medidas y . ${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

Convolución aditiva libre rectangular

La convolución aditiva libre rectangular (con razón ) también ha sido definida en el marco de probabilidad no conmutativa por Benaych-Georges ^[5] y admite la siguiente interpretación de matrices aleatorias . Para , para y son algunas matrices aleatorias complejas (resp. reales) independientes tales que al menos una de ellas es invariante, por ley, bajo la multiplicación por la izquierda y por la derecha por cualquier matriz unitaria (resp. ortogonal) y tal que la distribución empírica de valores singulares de y tiende respectivamente a y como y tiende a infinito de tal manera que tiende a , entonces la distribución empírica de valores singulares de tiende a . ^[6] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \boxplus _{c}}$ ${\displaystyle c\in [0,1]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n/p}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A+B}$ ${\displaystyle \mu \boxplus _{c}\nu }$

En muchos casos, es posible calcular la medida de probabilidad explícitamente utilizando técnicas de análisis complejo y la transformada R rectangular con la relación de las medidas y . ${\displaystyle \mu \boxplus _{c}\nu }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

Convolución multiplicativa libre

Sean y dos medidas de probabilidad en el intervalo , y supongamos que es una variable aleatoria en un espacio de probabilidad no conmutativo con ley y es una variable aleatoria en el mismo espacio de probabilidad no conmutativo con ley . Supongamos finalmente que y son libremente independientes . Entonces la convolución multiplicativa libre es la ley de (o, equivalentemente, la ley de . Interpretación de matrices aleatorias : si y son algunas independientes por matrices aleatorias hermíticas no negativas (resp. simétricas reales) tales que al menos una de ellas es invariante, en ley, bajo conjugación por cualquier matriz unitaria (resp. ortogonal) y tal que las medidas espectrales empíricas de y tienden respectivamente a y como tiende a infinito, entonces la medida espectral empírica de tiende a . ^[7] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle [0,+\infty )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu \boxtimes \nu }$ ${\displaystyle X^{1/2}YX^{1/2}}$ ${\displaystyle Y^{1/2}XY^{1/2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle \mu \boxtimes \nu }$

Una definición similar puede hacerse en el caso de leyes apoyadas en el círculo unitario , con una interpretación de matrices aleatorias unitarias o ortogonales . ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle \{z:|z|=1\}}$

Se pueden realizar cálculos explícitos de convolución libre multiplicativa utilizando técnicas de análisis complejo y la transformada S.

Aplicaciones de la convolución libre

• La convolución libre se puede utilizar para proporcionar una prueba del teorema del límite central libre.
• La convolución libre se puede utilizar para calcular las leyes y los espectros de sumas o productos de variables aleatorias que son libres. Entre estos ejemplos se incluyen: operadores de recorrido aleatorio en grupos libres (medidas de Kesten); y distribución asintótica de valores propios de sumas o productos de matrices aleatorias independientes .

A través de sus aplicaciones a matrices aleatorias, la convolución libre tiene algunas conexiones fuertes con otros trabajos sobre la estimación G de Girko.

Las aplicaciones en comunicaciones inalámbricas , finanzas y biología han proporcionado un marco útil cuando el número de observaciones es del mismo orden que las dimensiones del sistema.

Véase también

• Circunvolución
• Probabilidad libre
• Matriz aleatoria

Referencias

1. Anderson, GW; Guionnet, A.; Zeitouni, O. (2010). Introducción a las matrices aleatorias. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-19452-5 .
2. Voiculescu, D., Adición de ciertas variables aleatorias no conmutativas, J. Funct. Anal. 66 (1986), 323–346
3. Voiculescu, D., Multiplicación de ciertas variables aleatorias no conmutativas, J. Operator Theory 18 (1987), 2223–2235
4. Anderson, GW; Guionnet, A.; Zeitouni, O. (2010). Introducción a las matrices aleatorias. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19452-5 . 
5. Benaych-Georges, F., Matrices aleatorias rectangulares, convolución relacionada, Probab. Theory Related Fields Vol. 144, no. 3 (2009) 471-515.
6. Benaych-Georges, F., Matrices aleatorias rectangulares, convolución relacionada, Probab. Theory Related Fields Vol. 144, no. 3 (2009) 471-515.
7. Anderson, GW; Guionnet, A.; Zeitouni, O. (2010). Introducción a las matrices aleatorias. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19452-5 . 

• "Desconvolución libre para aplicaciones de procesamiento de señales", O. Ryan y M. Debbah, ISIT 2007, págs. 1846-1850
• James A. Mingo, Roland Speicher: Probabilidad libre y matrices aleatorias. Fields Institute Monographs, vol. 35, Springer, Nueva York, 2017.
• D.-V. Voiculescu, N. Stammeier, M. Weber (eds.): Probabilidad libre y álgebras de operadores, Münster Lectures in Mathematics, EMS, 2016

Enlaces externos

• Cátedra Alcatel Lucent sobre radio flexible
• http://www.cmapx.polytechnique.fr/~benaych
• http://folk.uio.no/oyvindry
• Artículos de investigación de Roland Speicher sobre la probabilidad libre.