Independencia libre

En la teoría matemática de la probabilidad libre , Dan Voiculescu introdujo la noción de independencia libre . ^[1] La definición de independencia libre es paralela a la definición clásica de independencia , excepto que el papel de los productos cartesianos de espacios de medida (correspondientes a los productos tensoriales de sus álgebras de funciones) lo desempeña la noción de un producto libre de (no- espacios de probabilidad conmutativos.

En el contexto de la teoría de la probabilidad libre de Voiculescu, muchos teoremas o fenómenos de probabilidad clásica tienen análogos de probabilidad libre: el mismo teorema o fenómeno se cumple (quizás con ligeras modificaciones) si la noción clásica de independencia se reemplaza por la independencia libre. Ejemplos de esto incluyen: el teorema del límite central libre; nociones de convolución libre ; existencia de cálculo estocástico libre, etc.

Sea un espacio de probabilidad no conmutativo, es decir, un álgebra unital equipada con un funcional lineal unital . Como ejemplo, se podría tomar, como medida de probabilidad , ${\displaystyle (A,\phi )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \phi :A\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle A=L^{\infty }(\mathbb {R} ,\mu ),\phi (f)=\int f(t)\,d\mu (t).}$

Otro ejemplo puede ser el álgebra de matrices con el funcional dado por la traza normalizada . De manera aún más general, podría ser un álgebra de von Neumann y un estado en . Un último ejemplo es el álgebra de grupos de un grupo (discreto) con el funcional dado por la traza del grupo . ${\displaystyle A=M_{N}}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle \phi ={\frac {1}{N}}Tr}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=\mathbb {C} \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (g)=\delta _{g=e},g\in \Gamma }$

Sea una familia de subálgebras unitarias de . ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle A}$

Definición . La familia se llama libremente independiente si cuando sea , y . ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle \phi (x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=0}$ ${\displaystyle \phi (x_{j})=0}$ ${\displaystyle x_{j}\in A_{i(j)}}$ ${\displaystyle i(1)\neq i(2),i(2)\neq i(3),\dots }$

Si , es una familia de elementos de (estos pueden considerarse como variables aleatorias en ), se llaman ${\displaystyle X_{i}\in A}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

libremente independiente si las álgebras generadas por y son libremente independientes. ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle X_{i}}$

Ejemplos de independencia libre

• Sea el producto libre de grupos , sea el álgebra de grupos, sea la traza de grupo y establezca . Entonces son libremente independientes. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{i},i\in I}$ ${\displaystyle A=\mathbb {C} \Gamma }$ ${\displaystyle \phi (g)=\delta _{g=e}}$ ${\displaystyle A_{i}=\mathbb {C} \Gamma _{i}\subset A}$ ${\displaystyle A_{i}:i\in I}$
• Sean matrices aleatorias unitarias , tomadas independientemente al azar del grupo unitario (con respecto a la medida de Haar ) . Luego vuélvete asintóticamente independiente como . (Libertad asintótica significa que la definición de libertad se cumple en el límite como ). ${\displaystyle U_{i}(N),i=1,2}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle U_{1}(N),U_{2}(N)}$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle N\to \infty }$
• De manera más general, las matrices aleatorias independientes tienden a ser asintóticamente libremente independientes, bajo ciertas condiciones.

Referencias

1. D. Voiculescu, K. Dykema, A. Nica, "Variables aleatorias libres", Serie de monografías CIRM, AMS, Providence, RI, 1992

Fuentes

• James A. Mingo, Roland Speicher: Probabilidad libre y matrices aleatorias. Monografías del Fields Institute, vol. 35, Springer, Nueva York, 2017.