convolución libre

La convolución libre es el análogo de probabilidad libre de la noción clásica de convolución de medidas de probabilidad. Debido a la naturaleza no conmutativa de la teoría de la probabilidad libre, uno tiene que hablar por separado sobre la convolución libre aditiva y multiplicativa, que surgen de la suma y multiplicación de variables aleatorias libres (ver más abajo; en el caso clásico, ¿cuál sería el análogo de la teoría de la probabilidad libre? la convolución multiplicativa se puede reducir a convolución aditiva pasando a logaritmos de variables aleatorias). Estas operaciones tienen algunas interpretaciones en términos de medidas espectrales empíricas de matrices aleatorias . ^[1]

La noción de convolución libre fue introducida por Dan-Virgil Voiculescu . ^{[2] [3]}

Convolución aditiva libre

Sean y dos medidas de probabilidad en la recta real, y supongamos que es una variable aleatoria en un espacio de probabilidad no conmutativa con ley y es una variable aleatoria en el mismo espacio de probabilidad no conmutativa con ley . Asuma finalmente eso y sea libremente independiente . Entonces la convolución aditiva libre es la ley de . Interpretación de matrices aleatorias : si y son independientes según matrices aleatorias hermitianas (resp. simétricas reales) tales que al menos una de ellas es invariante, por ley, bajo conjugación por cualquier matriz unitaria (resp. ortogonal) y tal que las medidas espectrales empíricas de y tienden respectivamente a y como tiende al infinito, entonces la medida espectral empírica de tiende a . ^[4] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$ ${\displaystyle X+Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A+B}$ ${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$

En muchos casos, es posible calcular la medida de probabilidad explícitamente utilizando técnicas analíticas complejas y la transformada R de las medidas y . ${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

Convolución aditiva libre rectangular

La convolución aditiva libre rectangular (con relación ) también ha sido definida en el marco de probabilidad no conmutativa por Benaych-Georges ^[5] y admite la siguiente interpretación de matrices aleatorias . For , for y son independientes por matrices aleatorias complejas (respectivamente reales) tales que al menos una de ellas es invariante, por ley, bajo multiplicación a la izquierda y a la derecha por cualquier matriz unitaria (resp. ortogonal) y tales que la distribución empírica de valores singulares de y tiende respectivamente a y como y tienden al infinito de tal manera que tiende a , entonces la distribución empírica de valores singulares de tiende a . ^[6] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \boxplus _{c}}$ ${\displaystyle c\in [0,1]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n/p}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A+B}$ ${\displaystyle \mu \boxplus _{c}\nu }$

En muchos casos, es posible calcular la medida de probabilidad explícitamente utilizando técnicas analíticas complejas y la transformada R rectangular con relación de las medidas y . ${\displaystyle \mu \boxplus _{c}\nu }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

Convolución multiplicativa libre

Sean y dos medidas de probabilidad en el intervalo , y supongamos que es una variable aleatoria en un espacio de probabilidad no conmutativa con ley y que es una variable aleatoria en el mismo espacio de probabilidad no conmutativa con ley . Asuma finalmente eso y sea libremente independiente . Entonces, la convolución multiplicativa libre es la ley de (o, equivalentemente, la ley de . Interpretación de matrices aleatorias : si y son independientes de matrices aleatorias hermitianas no negativas (resp. simétricas reales) tales que al menos una de ellas es invariante, en ley, bajo conjugación por cualquier matriz unitaria (resp. ortogonal) y tal que las medidas espectrales empíricas de y tienden respectivamente a y tienden al infinito, entonces la medida espectral empírica de tiende a ^[7] . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle [0,+\infty )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu \boxtimes \nu }$ ${\displaystyle X^{1/2}YX^{1/2}}$ ${\displaystyle Y^{1/2}XY^{1/2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle \mu \boxtimes \nu }$

Una definición similar puede hacerse en el caso de leyes sustentadas en el círculo unitario , con interpretación de matrices aleatorias ortogonales o unitarias . ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle \{z:|z|=1\}}$

Se pueden realizar cálculos explícitos de convolución libre multiplicativa utilizando técnicas de análisis complejo y la transformada S.

Aplicaciones de convolución libre

• La convolución libre se puede utilizar para demostrar el teorema del límite central libre.
• La convolución libre se puede utilizar para calcular las leyes y espectros de sumas o productos de variables aleatorias que son libres. Tales ejemplos incluyen: operadores de caminatas aleatorias en grupos libres (medidas de Kesten); y distribución asintótica de valores propios de sumas o productos de matrices aleatorias independientes .

A través de sus aplicaciones a matrices aleatorias, la convolución libre tiene fuertes conexiones con otros trabajos sobre estimación G de Girko.

Las aplicaciones en comunicaciones inalámbricas , finanzas y biología han proporcionado un marco útil cuando el número de observaciones es del mismo orden que las dimensiones del sistema.

Ver también

• Circunvolución
• probabilidad libre
• Matriz aleatoria

Referencias

1. Anderson, GW; Guionnet, A.; Zeitouni, O. (2010). Una introducción a las matrices aleatorias. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN  978-0-521-19452-5 .
2. Voiculescu, D., Adición de ciertas variables aleatorias no conmutantes, J. Funct. Anal. 66 (1986), 323–346
3. Voiculescu, D., Multiplicación de ciertas variables aleatorias no conmutantes, J. Operador Theory 18 (1987), 2223–2235
4. Anderson, GW; Guionnet, A.; Zeitouni, O. (2010). Una introducción a las matrices aleatorias. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-19452-5 . 
5. Benaych-Georges, F., Matrices aleatorias rectangulares, convolución relacionada, Probab. Campos relacionados con la teoría vol. 144, núm. 3 (2009) 471-515.
6. Benaych-Georges, F., Matrices aleatorias rectangulares, convolución relacionada, Probab. Campos relacionados con la teoría vol. 144, núm. 3 (2009) 471-515.
7. Anderson, GW; Guionnet, A.; Zeitouni, O. (2010). Una introducción a las matrices aleatorias. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-19452-5 . 

• "Deconvolución gratuita para aplicaciones de procesamiento de señales", O. Ryan y M. Debbah, ISIT 2007, págs. 1846-1850
• James A. Mingo, Roland Speicher: Probabilidad libre y matrices aleatorias. Monografías del Fields Institute, vol. 35, Springer, Nueva York, 2017.
• D.-V. Voiculescu, N. Stammeier, M. Weber (eds.): Probabilidad libre y álgebras de operadores, Conferencias de Matemáticas de Münster, EMS, 2016

Enlaces externos

• Silla Alcatel Lucent en radio flexible
• http://www.cmapx.polytechnique.fr/~benaych
• http://folk.uio.no/oyvindry
• Artículos de encuesta de Roland Speicher sobre la probabilidad libre.