La probabilidad libre es una teoría matemática que estudia variables aleatorias no conmutativas . La propiedad "libertad" o independencia libre es análoga a la noción clásica de independencia y está relacionada con los productos libres . Esta teoría fue iniciada por Dan Voiculescu alrededor de 1986 para atacar el problema del isomorfismo de factores de grupos libres, un importante problema no resuelto en la teoría de álgebras de operadores . Dado un grupo libre sobre cierto número de generadores, podemos considerar el álgebra de von Neumann generada por el álgebra de grupos , que es un factor tipo II 1 . El problema del isomorfismo pregunta si estos son isomórficos para diferentes números de generadores. Ni siquiera se sabe si dos factores de grupos libres son isomórficos. Esto es similar al problema de grupos libres de Tarski , que pregunta si dos grupos libres diferentes, no abelianos y finitamente generados, tienen la misma teoría elemental.
Posteriormente se establecieron conexiones con la teoría de matrices aleatorias , la combinatoria , las representaciones de grupos simétricos , las grandes desviaciones , la teoría de la información cuántica y otras teorías. Actualmente se está investigando activamente la probabilidad libre.
Normalmente, las variables aleatorias se encuentran en un álgebra unital A , como un álgebra C* o un álgebra de von Neumann . El álgebra viene equipada con una expectativa no conmutativa , un funcional lineal φ: A → C tal que φ(1) = 1. Se dice entonces que las subálgebras unitarias A 1 , ..., Am son libremente independientes si la expectativa del producto a 1 ... a n es cero siempre que cada a j tenga una expectativa de cero, se encuentre en un A k , ningún a j adyacente provenga de la misma subálgebra A k , y n sea distinto de cero. Las variables aleatorias son libremente independientes si generan subálgebras unitales libremente independientes.
Uno de los objetivos de la probabilidad libre (aún no logrado) era construir nuevos invariantes de las álgebras de von Neumann y la dimensión libre se considera un candidato razonable para tal invariante. La principal herramienta utilizada para la construcción de dimensión libre es la entropía libre.
La relación de la probabilidad libre con matrices aleatorias es una razón clave para el amplio uso de la probabilidad libre en otras materias. Voiculescu introdujo el concepto de libertad alrededor de 1983 en un contexto algebraico de operadores; Al principio no había ninguna relación con las matrices aleatorias. Esta conexión sólo fue revelada más tarde en 1991 por Voiculescu; estaba motivado por el hecho de que la distribución límite que encontró en su teorema del límite central libre había aparecido antes en la ley del semicírculo de Wigner en el contexto de una matriz aleatoria.
El funcional acumulante libre (introducido por Roland Speicher ) [1] juega un papel importante en la teoría. Está relacionado con la red de particiones que no se cruzan del conjunto { 1, ..., n } de la misma manera que el funcional acumulante clásico está relacionado con la red de todas las particiones de ese conjunto.