Unión disjunta

En matemáticas, operación en conjuntos.

En matemáticas , la unión disjunta (o unión discriminada ) de los conjuntos A y B es el conjunto formado a partir de los elementos de A y B rotulados (indexados) con el nombre del conjunto del que proceden. Entonces, un elemento que pertenece tanto a A como a B aparece dos veces en la unión disjunta, con dos etiquetas diferentes. ${\displaystyle A\sqcup B}$

Una unión disjunta de una familia indexada de conjuntos es un conjunto que a menudo se denota con una inyección de cada uno de modo que las imágenes de estas inyecciones formen una partición de (es decir, cada elemento de pertenece exactamente a una de estas imágenes). Una unión disjunta de una familia de conjuntos disjuntos por pares es su unión . ${\displaystyle (A_{i}:i\in I)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i},}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

En la teoría de categorías , la unión disjunta es el coproducto de la categoría de conjuntos y, por tanto, se define hasta una biyección . En este contexto, se utiliza a menudo la notación. ${\textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$

La unión disjunta de dos conjuntos y se escribe con notación infija como . Algunos autores utilizan la notación alternativa o (junto con la correspondiente o ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\sqcup B}$ ${\displaystyle A\uplus B}$ ${\displaystyle A\operatorname {{\cup }\!\!\!{\cdot }\,} B}$ ${\textstyle \biguplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\textstyle \operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i\in I}A_{i}}$

Una forma estándar de construir la unión disjunta es definir como el conjunto de pares ordenados tales que y la inyección como ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x,i)}$ ${\displaystyle x\in A_{i},}$ ${\displaystyle A_{i}\to A}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,i).}$

Ejemplo

Considere los conjuntos y es posible indexar los elementos del conjunto según el origen del conjunto formando los conjuntos asociados. ${\displaystyle A_{0}=\{5,6,7\}}$ ${\displaystyle A_{1}=\{5,6\}.}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}^{*}&=\{(5,0),(6,0),(7,0)\}\\A_{1}^{*}&=\{(5,1),(6,1)\},\\\end{aligned}}}$

donde el segundo elemento de cada par coincide con el subíndice del conjunto de origen (por ejemplo, in coincide con el subíndice in, etc.). Entonces la unión disjunta se puede calcular de la siguiente manera: ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (5,0)}$ ${\displaystyle A_{0},}$ ${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}}$

$${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}=A_{0}^{*}\cup A_{1}^{*}=\{(5,0),(6,0),(7,0),(5,1),(6,1)\}.}$$

Definición de la teoría de conjuntos

Formalmente, sea una familia indexada de conjuntos indexados por La unión disjunta de esta familia es el conjunto ${\displaystyle \left(A_{i}:i\in I\right)}$ ${\displaystyle I.}$

$${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$$

pares ordenados. ${\displaystyle (x,i).}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle x}$

Cada uno de los conjuntos es canónicamente isomorfo al conjunto. ${\displaystyle A_{i}}$

$${\displaystyle A_{i}^{*}=\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$$

${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\neq j,}$ ${\displaystyle A_{i}^{*}}$ ${\displaystyle A_{j}^{*}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{j}}$

En el caso extremo en el que cada uno de es igual a algún conjunto fijo para cada uno, la unión disjunta es el producto cartesiano de y : ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.}$$

En ocasiones, la notación

$${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}}$$

cardinalidadsumaproducto cartesiano ${\displaystyle A+B}$

En el lenguaje de la teoría de categorías , la unión disjunta es el coproducto en la categoría de conjuntos . Por tanto, satisface la propiedad universal asociada . Esto también significa que la unión disjunta es el dual categórico de la construcción del producto cartesiano . Consulte Coproducto para obtener más detalles.

Para muchos propósitos, la elección particular del índice auxiliar no es importante y, en un abuso simplificador de notación , la familia indexada puede tratarse simplemente como una colección de conjuntos. En este caso se denomina copia de y en ocasiones se utiliza la notación . ${\displaystyle A_{i}^{*}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle {\underset {A\in C}{\,\,\bigcup \nolimits ^{*}\!}}A}$

Punto de vista de la teoría de categorías.

En teoría de categorías, la unión disjunta se define como un coproducto en la categoría de conjuntos.

Como tal, la unión disjunta se define hasta un isomorfismo, y la definición anterior es solo una realización del coproducto, entre otras. Cuando los conjuntos son disjuntos por pares, la unión habitual es otra realización del coproducto. Esto justifica la segunda definición a la cabeza.

Este aspecto categórico de la unión disjunta explica por qué se usa con frecuencia, en lugar de para denotar coproducto . ${\displaystyle \coprod }$ ${\displaystyle \bigsqcup ,}$

Ver también

• Coproducto  – Construcción teórica de categorías
• Límite directo  : caso especial de colimit en la teoría de categorías
• Unión disjunta (topología)  : espacio formado al equipar la unión disjunta de los conjuntos subyacentes con una topología natural llamada topología de unión disjunta.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Unión disjunta de gráficos  : combinación de los conjuntos de vértices y aristas de dos gráficos
• Intersección (teoría de conjuntos)  : conjunto de elementos comunes a todos algunos conjuntos
• Lista de identidades y relaciones de conjuntos  - Igualdades para combinaciones de conjuntos
• Partición de un conjunto  : formas matemáticas de agrupar elementos de un conjunto
• Tipo de suma  : estructura de datos utilizada para contener un valor que podría adoptar varios tipos diferentes, pero fijos.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Diferencia simétrica  : elementos en exactamente uno de dos conjuntos
• Unión etiquetada  : estructura de datos utilizada para contener un valor que podría adoptar varios tipos diferentes, pero fijos.
• Unión (informática)  – Variable capaz de contener diferentes tipos de datosPages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

• Lang, Serge (2004), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (Cuarta impresión corregida, tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, p. 60, ISBN 978-0-387-95385-4
• Weisstein, Eric W. "Unión disjunta". MundoMatemático .