Grupo Artin-Tits

Familia de grupos discretos infinitos

En el área matemática de la teoría de grupos , los grupos de Artin , también conocidos como grupos de Artin-Tits o grupos trenzados generalizados , son una familia de grupos discretos infinitos definidos por presentaciones simples . Están estrechamente relacionados con los grupos de Coxeter . Algunos ejemplos son los grupos libres , los grupos abelianos libres , los grupos trenzados y los grupos de Artin-Tits rectángulos, entre otros.

Los grupos reciben su nombre de Emil Artin , debido a sus primeros trabajos sobre grupos trenzados en las décadas de 1920 a 1940, ^[1] y Jacques Tits , quien desarrolló la teoría de una clase más general de grupos en la década de 1960. ^[2]

Definición

Una presentación de Artin–Tits es una presentación de grupo donde es un conjunto (normalmente finito) de generadores y es un conjunto de relaciones de Artin–Tits, es decir, relaciones de la forma para distintos en , donde ambos lados tienen longitudes iguales, y existe como máximo una relación para cada par de generadores distintos . Un grupo de Artin–Tits es un grupo que admite una presentación de Artin–Tits. Del mismo modo, un monoide de Artin–Tits es un monoide que, como monoide, admite una presentación de Artin–Tits. ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s,t}$

Alternativamente, un grupo Artin–Tits puede especificarse por el conjunto de generadores y, para cada uno en , el número natural que es la longitud de las palabras y tal que es la relación que conecta y , si la hay. Por convención, se pone cuando no hay relación . Formalmente, si definimos para denotar un producto alterno de y de longitud , comenzando con — de modo que , , etc. — las relaciones Artin–Tits toman la forma ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 2}$ ${\displaystyle stst\ldots }$ ${\displaystyle tsts\ldots }$ ${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$ ${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$ ${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{m}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{2}=st}$ ${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{3}=sts}$

${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{m_{s,t}}=\langle t,s\rangle ^{m_{t,s}},{\text{ where }}m_{s,t}=m_{t,s}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}.}$

Los números enteros se pueden organizar en una matriz simétrica , conocida como matriz de Coxeter del grupo. ${\displaystyle m_{s,t}}$

Si es una presentación de Artin–Tits de un grupo de Artin–Tits , el cociente de obtenido sumando la relación para cada uno de es un grupo de Coxeter . Por el contrario, si es un grupo de Coxeter presentado por reflexiones y se eliminan las relaciones , la extensión así obtenida es un grupo de Artin–Tits. Por ejemplo, el grupo de Coxeter asociado con el grupo trenzado de hebras es el grupo simétrico de todas las permutaciones de . ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s^{2}=1}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle s^{2}=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$

Ejemplos

• ${\displaystyle G=\langle S\mid \emptyset \rangle }$es el grupo libre basado en ; aquí para todos . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$ ${\displaystyle s,t}$
• ${\displaystyle G=\langle S\mid \{st=ts\mid s,t\in S\}\rangle }$es el grupo abeliano libre basado en ; aquí para todos . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m_{s,t}=2}$ ${\displaystyle s,t}$
• ${\displaystyle G=\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{i}=\sigma _{j}\sigma _{i}\sigma _{j}{\text{ for }}\vert i-j\vert =1,\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\text{ for }}\vert i-j\vert \geqslant 2\rangle }$es el grupo trenzado en hebras; aquí para , y para . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=3}$ ${\displaystyle \vert i-j\vert =1}$ ${\displaystyle m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=2}$ ${\displaystyle \vert i-j\vert >1}$

Propiedades generales

Los monoides de Artin-Tits son elegibles para los métodos de Garside basados ​​en la investigación de sus relaciones de divisibilidad y son bien comprendidos:

• Los monoides de Artin-Tits son cancelativos y admiten máximos comunes divisores y mínimos comunes múltiplos condicionales (existe un mínimo común múltiplo siempre que existe un múltiplo común).
• Si es un monoide de Artin–Tits, y si es el grupo de Coxeter asociado, hay una sección (teórica de conjuntos) de en , y cada elemento de admite una descomposición distinguida como una secuencia de elementos en la imagen de ("forma normal codiciosa"). ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Se conocen muy pocos resultados para los grupos Artin-Tits generales. En particular, las siguientes preguntas básicas siguen abiertas en el caso general:

– resolver los problemas de palabras y conjugación , que se supone que son decidibles,

– determinar la torsión, lo cual se supone que es trivial,

– determinar el centro —lo cual se supone que es trivial o monogénico en el caso en que el grupo no es un producto directo ("caso irreducible"),

– determinar la cohomología — en particular resolver la conjetura, es decir, encontrar un complejo acíclico cuyo grupo fundamental sea el grupo considerado. ${\displaystyle K(\pi ,1)}$

A continuación se recogen resultados parciales que involucran subfamilias particulares. Entre los pocos resultados generales conocidos, se pueden mencionar:

• Los grupos Artin-Tits son contables infinitos.
• En un grupo Artin-Tits , la única relación que conecta los cuadrados de los elementos de es si está en (John Crisp y Luis Paris ^[3] ). ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s^{2}t^{2}=t^{2}s^{2}}$ ${\displaystyle st=ts}$ ${\displaystyle R}$
• Para cada presentación de Artin–Tits , el monoide de Artin–Tits presentado por se incrusta en el grupo de Artin–Tits presentado por (París ^[4] ). ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$
• Todo monoide de Artin–Tits (finitamente generado) admite una familia finita de Garside (Matthew Dyer y Christophe Hohlweg ^[5] ). En consecuencia, la existencia de múltiplos derechos comunes en los monoides de Artin–Tits es decidible y la reducción de multifracciones es efectiva.

Clases particulares de grupos Artin-Tits

Se pueden definir varias clases importantes de grupos Artin en términos de las propiedades de la matriz de Coxeter.

Grupos Artin-Tits de tipo esférico

• Se dice que un grupo de Artin-Tits es de tipo esférico si el grupo de Coxeter asociado es finito (se debe evitar la terminología alternativa "grupo de Artin-Tits de tipo finito" debido a su ambigüedad: un "grupo de tipo finito" es simplemente uno que admite un conjunto generador finito). Recordemos que se conoce una clasificación completa, y que los "tipos irreducibles" se etiquetan como las series infinitas , , , y seis grupos excepcionales , , , , y . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle I_{2}(n)}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{7}}$ ${\displaystyle E_{8}}$ ${\displaystyle F_{4}}$ ${\displaystyle H_{3}}$ ${\displaystyle H_{4}}$
• En el caso de un grupo Artin-Tits esférico, el grupo es un grupo de fracciones para el monoide, lo que hace que el estudio sea mucho más fácil. Todos los problemas mencionados anteriormente se resuelven en positivo para grupos Artin-Tits esféricos: los problemas de palabras y conjugación son decidibles, su torsión es trivial, el centro es monogénico en el caso irreducible y la cohomología está determinada ( Pierre Deligne , por métodos geométricos, ^[6] Egbert Brieskorn y Kyoji Saito , por métodos combinatorios ^[7] ).
• Un grupo Artin-Tits puro de tipo esférico puede realizarse como el grupo fundamental del complemento de una disposición de hiperplano finito en . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Los grupos Artin-Tits de tipo esférico son grupos biautomáticos (Ruth Charney ^[8] ).
• En la terminología moderna, un grupo de Artin-Tits es un grupo de Garside , lo que significa que es un grupo de fracciones para el monoide asociado y existe para cada elemento de una forma normal única que consiste en una secuencia finita de (copias de) elementos de y sus inversos ("forma normal codiciosa simétrica") ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$

Grupos de Artin en ángulo recto

• Se dice que un grupo de Artin-Tits es rectángulo si todos los coeficientes de la matriz de Coxeter son o bien o bien , es decir, todas las relaciones son relaciones de conmutación . También son comunes los nombres grupo parcialmente conmutativo (libre) , grupo de grafos , grupo de trazas , grupo semilibre o incluso grupo localmente libre . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle st=ts}$
• Para esta clase de grupos de Artin-Tits, se suele utilizar un esquema de etiquetado diferente. Cualquier gráfico sobre vértices etiquetados define una matriz , para la cual si los vértices y están conectados por una arista en , y en caso contrario. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m_{s,t}=2}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$
• La clase de grupos de Artin-Tits rectángulos incluye los grupos libres de rango finito, correspondientes a un grafo sin aristas, y los grupos abelianos libres finitamente generados , correspondientes a un grafo completo . Cada grupo de Artin rectángulo de rango r puede construirse como una extensión HNN de un grupo de Artin rectángulo de rango , con el producto libre y el producto directo como casos extremos. Una generalización de esta construcción se denomina producto gráfico de grupos . Un grupo de Artin rectángulo es un caso especial de este producto, siendo cada vértice/operando del producto gráfico un grupo libre de rango uno (el grupo cíclico infinito ). ${\displaystyle r-1}$
• Los problemas de palabras y conjugación de un grupo Artin-Tits en ángulo recto son decidibles, los primeros en tiempo lineal, el grupo está libre de torsión y hay un finito celular explícito (John Crisp, Eddy Godelle y Bert Wiest ^[9] ). ${\displaystyle K(\pi ,1)}$
• Cada grupo Artin-Tits rectángulo actúa de forma libre y compacta sobre un complejo cúbico CAT(0) de dimensión finita , su "complejo Salvetti". Como aplicación, se pueden utilizar grupos Artin rectángulos y sus complejos Salvetti para construir grupos con propiedades de finitud dadas (Mladen Bestvina y Noel Brady ^[10] ) véase también (Ian Leary ^[11] ).

Grupos de Artin-Tits de tipo grande

• Se dice que un grupo Artin-Tits (y un grupo Coxeter) es de tipo grande si para todos los generadores ; se dice que es de tipo extra grande si para todos los generadores . ${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 3}$ ${\displaystyle s\neq t}$ ${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 4}$ ${\displaystyle s\neq t}$
• Los grupos Artin-Tits de tipo extragrande son aptos para la teoría de cancelación pequeña. Como aplicación, los grupos Artin-Tits de tipo extragrande no presentan torsión y tienen un problema de conjugación solucionable ( Kenneth Appel y Paul Schupp ^[12] ).
• Los grupos Artin-Tits de tipo extragrande son biautomáticos (David Peifer ^[13] ).
• Los grupos Artin de tipo grande son automáticos shortlex con geodésicas regulares (Derek Holt y Sarah Rees ^[14] ).

Otros tipos

Se han identificado e investigado muchas otras familias de grupos Artin–Tits. Aquí mencionamos dos de ellas.

• Se dice que un grupo Artin–Tits es de tipo FC ("complejo bandera") si, para cada subconjunto de tal que para todo en , el grupo es de tipo esférico. Tales grupos actúan de forma cocompacta en un complejo cúbico CAT(0) y, como consecuencia, se puede encontrar una forma normal racional para sus elementos y deducir una solución al problema verbal (Joe Altobelli y Charney ^[15] ). Una forma normal alternativa se proporciona mediante reducción multifracción, que da una expresión única mediante una multifracción irreducible que extiende directamente la expresión mediante una fracción irreducible en el caso esférico (Dehornoy ^[16] ). ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m_{s,t}\neq \infty }$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle \langle S'\mid R\cap S'{}^{2}\rangle }$
• Se dice que un grupo Artin–Tits es de tipo afín si el grupo de Coxeter asociado es afín . Corresponden a los diagramas de Dynkin extendidos de las cuatro familias infinitas para , , para , y para , y de los cinco tipos esporádicos , , , y . Los grupos Artin–Tits afines son de tipo euclidiano : el grupo de Coxeter asociado actúa geométricamente en un espacio euclidiano. Como consecuencia, su centro es trivial y su problema verbal es decidible (Jon McCammond y Robert Sulway ^[17] ). En 2019, se anunció una prueba de la conjetura para todos los grupos Artin–Tits afines (Mario Salvetti y Giovanni Paolini ^[18] ). ${\displaystyle {\widetilde {A}}_{n}}$ ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ${\displaystyle {\widetilde {B}}_{n}}$ ${\displaystyle {\widetilde {C}}_{n}}$ ${\displaystyle n\geqslant 2}$ ${\displaystyle {\widetilde {D}}_{n}}$ ${\displaystyle n\geqslant 3}$ ${\displaystyle {\widetilde {E}}_{6}}$ ${\displaystyle {\widetilde {E}}_{7}}$ ${\displaystyle {\widetilde {E}}_{8}}$ ${\displaystyle {\widetilde {F}}_{4}}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}_{2}}$ ${\displaystyle K(\pi ,1)}$

Véase también

• Monoide parcialmente conmutativo libre
• Grupo artiniano (una noción no relacionada)
• Criptografía no conmutativa
• Grupo abeliano elemental

Referencias

1. Artin, Emil (1947). "Teoría de las trenzas". Anales de Matemáticas . 48 (1): 101–126. doi :10.2307/1969218. JSTOR  1969218. S2CID  30514042.
2. Tetas, Jacques (1966), "Normalisateurs de tores. I. Groupes de Coxeter étendus", Journal of Algebra , 4 : 96–116, doi : 10.1016/0021-8693(66)90053-6 , MR  0206117
3. Crisp, John; Paris, Luis (2001), "La solución a una conjetura de Tits sobre el subgrupo generado por los cuadrados de los generadores de un grupo de Artin", Inventiones Mathematicae , 145 (1): 19–36, arXiv : math/0003133 , Bibcode :2001InMat.145...19C, doi :10.1007/s002220100138, MR  1839284
4. París, Luis (2002), "Artin monoides se inyectan en sus grupos", Commentarii Mathematici Helvetici , 77 (3): 609–637, arXiv : math/0102002 , doi : 10.1007/s00014-002-8353-z , MR  1933791
5. Dyer, Matthew; Hohlweg, Christophe (2016), "Raíces pequeñas, elementos bajos y el orden débil en los grupos de Coxeter", Advances in Mathematics , 301 : 739–784, arXiv : 1505.02058 , doi : 10.1016/j.aim.2016.06.022 , MR  1839284
6. Deligne, Pierre (1972), "Les immeubles des groupes de tresses généralisés", Inventiones Mathematicae , 17 : 273–302, Bibcode :1972InMat..17..273D, doi :10.1007/BF01406236, MR  0422673
7. Brieskorn, Egbert ; Saito, Kyoji (1972), "Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen", Inventiones Mathematicae , 17 (4): 245–271, Bibcode :1972InMat..17..245B, doi :10.1007/BF01406235, MR  0323910
8. Charney, Ruth (1992), "Los grupos de Artin de tipo finito son biautomáticos", Mathematische Annalen , 292 (4): 671–683, doi :10.1007/BF01444642, MR  1157320
9. Crisp, John; Godelle, Eddy; Wiest, Bert (2009), "El problema de la conjugación en subgrupos de grupos de Artin de ángulos rectos", Journal of Topology , 2 (3): 442–460, doi :10.1112/jtopol/jtp018, MR  2546582
10. Bestvina, Mladen ; Brady, Noel (1997), "Teoría de Morse y propiedades de finitud de grupos", Inventiones Mathematicae , 129 (3): 445–470, Bibcode :1997InMat.129..445B, doi :10.1007/s002220050168, MR  1465330
11. Leary, Ian (2018), "Un número incontable de grupos de tipo FP", Actas de la London Mathematical Society , 117 (2): 246–276, arXiv : 1512.06609 , doi : 10.1112/plms.12135 , MR  3851323
12. Appel, Kenneth I.; Schupp, Paul E. (1983), "Grupos de Artin y grupos infinitos de Coxeter", Inventiones Mathematicae , 72 (2): 201–220, Bibcode :1983InMat..72..201A, doi :10.1007/BF01389320, MR  0700768
13. Peifer, David (1996), "Los grupos de Artin de tipo extragrande son biautomáticos", Journal of Pure and Applied Algebra , 110 (1): 15–56, doi :10.1016/0022-4049(95)00094-1, MR  1390670
14. Holt, Derek; Rees, Sarah (2012). "Los grupos de Artin de tipo grande son automáticos con geodésicas regulares". Actas de la London Mathematical Society . 104 (3): 486–512. arXiv : 1003.6007 . doi :10.1112/plms/pdr035. MR  2900234.
15. Altobelli, Joe; Charney, Ruth (2000), "Una forma racional geométrica para grupos Artin de tipo FC", Geometriae Dedicata , 79 (3): 277–289, doi :10.1023/A:1005216814166, MR  1755729
16. Dehornoy, Patrick (2017), "Reducción multifracción I: El caso 3-Ore y los grupos Artin–Tits de tipo FC", Journal of Combinatorial Algebra , 1 (2): 185–228, arXiv : 1606.08991 , doi :10.4171/JCA/1-2-3, MR  3634782
17. McCammond, Jon; Sulway, Robert (2017), "Grupos de Artin de tipo euclidiano", Inventiones Mathematicae , 210 (1): 231–282, arXiv : 1312.7770 , Bibcode :2017InMat.210..231M, doi :10.1007/s00222-017-0728-2, MR  3698343
18. Paolini, Giovanni; Salvetti, Mario (2019), Prueba de la conjetura para grupos afines de Artin , arXiv : 1907.11795 ${\displaystyle K(\pi ,1)}$

Lectura adicional

• Charney, Ruth (2007), "Una introducción a los grupos Artin de ángulos rectos", Geometriae Dedicata , 125 (1): 141–158, arXiv : math/0610668 , doi :10.1007/s10711-007-9148-6, MR  2322545
• Godelle, Eddy; Paris, Luis (2012), Preguntas básicas sobre los grupos Artin–Tits , CRM Series, vol. 14, Ed. Norm., Pisa, pp. 299–311, arXiv : 1105.1048 , doi :10.1007/978-88-7642-431-1_13, ISBN 978-88-7642-430-4, Sr.  3203644
• McCammond, Jon (2017), "La misteriosa geometría de los grupos de Artin", Winter Braids Lecture Notes , 4 (Winter Braids VII (Caen, 2017)): 1–30, doi : 10.5802/wbln.17 , MR  3922033
• Flores, Ramon; Kahrobaei, Delaram ; Koberda, Thomas (2019). "Problemas algorítmicos en grupos de Artin rectángulos: complejidad y aplicaciones". Journal of Algebra . 519 : 111–129. arXiv : 1802.04870 . doi :10.1016/j.jalgebra.2018.10.023. MR  3874519.