En teoría geométrica de grupos , un grafo de grupos es un objeto que consiste en una colección de grupos indexados por los vértices y las aristas de un grafo , junto con una familia de monomorfismos de los grupos de aristas en los grupos de vértices. Existe un grupo único, llamado grupo fundamental , asociado canónicamente a cada grafo finito conexo de grupos. Admite una acción de preservación de la orientación en un árbol : el grafo original de grupos se puede recuperar a partir del grafo cociente y los subgrupos estabilizadores . Esta teoría, comúnmente denominada teoría de Bass-Serre , se debe al trabajo de Hyman Bass y Jean-Pierre Serre .
Un grafo de grupos sobre un grafo Y es una asignación a cada vértice x de Y de un grupo G x y a cada arista y de Y de un grupo G y así como los monomorfismos φ y ,0 y φ y ,1 que asignan G y a los grupos asignados a los vértices en sus extremos.
Sea T un árbol de expansión para Y y definamos el grupo fundamental Γ como el grupo generado por los grupos de vértices G x y elementos y para cada arista de Y con las siguientes relaciones:
Esta definición es independiente de la elección de T.
La ventaja de definir el grupoide fundamental de un grafo de grupos, como lo demuestra Higgins (1976), es que se define independientemente del punto base o árbol. También se demuestra que existe una forma normal agradable para los elementos del grupoide fundamental. Esto incluye teoremas de forma normal para un producto libre con amalgama y para una extensión HNN (Bass 1993).
Sea Γ el grupo fundamental correspondiente al árbol de expansión T . Para cada vértice x y arista y , se pueden identificar G x y G y con sus imágenes en Γ . Es posible definir un grafo con vértices y aristas la unión disjunta de todos los espacios de clases laterales Γ/ G x y Γ/ G y respectivamente. Este grafo es un árbol , llamado árbol de recubrimiento universal , sobre el que actúa Γ . Admite al grafo Y como dominio fundamental . El grafo de grupos dado por los subgrupos estabilizadores sobre el dominio fundamental corresponde al grafo de grupos original.
La generalización más simple posible de un grafo de grupos es un complejo bidimensional de grupos . Estos se modelan sobre orbifolds que surgen de acciones adecuadamente discontinuas cocompactas de grupos discretos sobre complejos simpliciales bidimensionales que tienen la estructura de espacios CAT(0) . El cociente del complejo simplicial tiene grupos estabilizadores finitos unidos a vértices, aristas y triángulos junto con monomorfismos para cada inclusión de símplices. Se dice que un complejo de grupos es desarrollable si surge como el cociente de un complejo simplicial CAT(0). La desarrollabilidad es una condición de curvatura no positiva en el complejo de grupos: se puede verificar localmente comprobando que todos los circuitos que ocurren en los vínculos de vértices tienen una longitud de al menos seis. Tales complejos de grupos surgieron originalmente en la teoría de los edificios de Bruhat-Tits bidimensionales ; su definición general y estudio continuo se han inspirado en las ideas de Gromov .