Complejo simple

Conjunto matemático compuesto por puntos, segmentos de recta, triángulos y sus contrapartes de n dimensiones

Un complejo 3 simple.

En matemáticas , un complejo simplicial es un conjunto compuesto de puntos , segmentos de recta , triángulos y sus contrapartes de n dimensiones (ver ilustración). Los complejos simpliciales no deben confundirse con la noción más abstracta de conjunto simplicial que aparece en la teoría moderna de la homotopía simplicial . La contraparte puramente combinatoria de un complejo simplicial es un complejo simplicial abstracto . Para distinguir un complejo simplicial de un complejo simplicial abstracto, al primero se le suele llamar complejo simplicial geométrico . ^{[1] : 7}

Definiciones

Un complejo simplicial es un conjunto de simples que satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

1. Cada cara de un simplex de también está en . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

2. La intersección no vacía de dos simples cualesquiera es una cara de ambos y . ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$

Véase también la definición de complejo simplicial abstracto , que en términos generales es un complejo simplicial sin una geometría asociada.

Un k -complejo simplicial es un complejo simplicial donde la dimensión más grande de cualquier simplex es igual a k . Por ejemplo, un complejo 2 simplicial debe contener al menos un triángulo y no debe contener tetraedros ni simples de dimensiones superiores. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

Un k -complejo simplicial puro u homogéneo es un complejo simplicial donde cada simplex de dimensión menor que k es una cara de algún simplex de dimensión exactamente k . Informalmente, un complejo de 1 puro "parece" estar hecho de un montón de líneas, un complejo de 2 "parece" estar hecho de un montón de triángulos, etc. Un ejemplo de un complejo no homogéneo es un triángulo con una segmento de recta unido a uno de sus vértices. Los complejos simpliciales puros pueden considerarse triangulaciones y proporcionar una definición de politopos . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {K}}}$

Una faceta es un simplex máximo, es decir, cualquier simplex de un complejo que no sea una cara de ningún simplex mayor. ^[2] (Nótese la diferencia con respecto a una "cara" de un simplex ). Se puede considerar un complejo simplicial puro como un complejo en el que todas las facetas tienen la misma dimensión. Para (complejos de límites de) politopos simpliciales , esto coincide con el significado de la combinatoria poliédrica.

A veces el término cara se utiliza para referirse a un simplex de un complejo, no debe confundirse con una cara de un simplex.

Para un complejo simplicial incrustado en un espacio k -dimensional, las k -caras a veces se denominan sus celdas . El término célula se utiliza a veces en un sentido más amplio para denotar un conjunto homeomorfo a un simplex, lo que lleva a la definición de complejo celular .

El espacio subyacente , a veces llamado portador de un complejo simplicial, es la unión de sus simples. Generalmente se denota por o . ${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$ ${\displaystyle \|{\mathcal {K}}\|}$

Apoyo

Los interiores relativos de todos los simples forman una partición de su espacio subyacente : para cada punto , hay exactamente un simplex que contiene en su interior relativo. Este simplex se llama soporte de x y se denota . ^{[3] : 9} ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$ ${\displaystyle x\in |{\mathcal {K}}|}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (x)}$

Cierre, estrella y enlace

• 
  Dos simples y su cierre .
• 
  Un vértice y su estrella .
• 
  Un vértice y su vínculo .

Sea K un complejo simplicial y sea S una colección de simples en K.

El cierre de S (denotado ) es el subcomplejo simplicial más pequeño de K que contiene cada simplex en S. se obtiene sumando repetidamente a S cada cara de cada simplex en S. ${\displaystyle \mathrm {Cl} \ S}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} \ S}$

La estrella de S (denotada ) es la unión de las estrellas de cada simplex en S. Para un simplex s , la estrella de s es el conjunto de simples que tienen s como cara ^{[ aclaración necesaria ]} . La estrella de S generalmente no es un complejo simplicial en sí mismo, por lo que algunos autores definen la estrella cerrada de S (denominada ) como el cierre de la estrella de S. ${\displaystyle \mathrm {st} \ S}$ ${\displaystyle \mathrm {St} \ S}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} \ \mathrm {st} \ S}$

El vínculo de S (denotado ) es igual a . Es la estrella cerrada de S menos las estrellas de todas las caras de S. ${\displaystyle \mathrm {Lk} \ S}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} {\big (}\mathrm {st} (S){\big )}\setminus \mathrm {st} {\big (}\mathrm {Cl} (S){\big )}}$

Topología algebraica

En topología algebraica , los complejos simpliciales suelen ser útiles para cálculos concretos. Para la definición de grupos de homología de un complejo simplicial, se puede leer directamente el complejo de cadena correspondiente , siempre que se hagan orientaciones consistentes de todos los simples. Los requisitos de la teoría de la homotopía conducen al uso de espacios más generales, los complejos CW . Los complejos infinitos son una herramienta técnica básica en topología algebraica. Véase también la discusión en Polytope sobre complejos simpliciales como subespacios del espacio euclidiano formados por subconjuntos, cada uno de los cuales es un simplex . Ese concepto algo más concreto se atribuye allí a Alexandrov . Cualquier complejo simplicial finito en el sentido aquí mencionado puede integrarse como un politopo en ese sentido, en un gran número de dimensiones. En topología algebraica, un espacio topológico compacto que es homeomorfo a la realización geométrica de un complejo simplicial finito suele denominarse poliedro (ver Spanier 1966, Maunder 1996, Hilton & Wylie 1967).

combinatoria

Los combinatorialistas a menudo estudian el vector f de un complejo d simplicial Δ, que es la secuencia entera , donde f _i es el número de caras ( i −1)-dimensionales de Δ (por convención, f ₀  = 1 a menos que Δ sea el complejo vacío). Por ejemplo, si Δ es el límite del octaedro , entonces su vector f es (1, 6, 12, 8), y si Δ es el primer complejo simplicial que se muestra arriba, su vector f es (1, 18, 23 , 8, 1). El teorema de Kruskal-Katona proporciona una caracterización completa de los posibles f -vectores de complejos simpliciales . ${\displaystyle (f_{0},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{d+1})}$

Al utilizar el f -vector de un d -complejo simplicial Δ como coeficientes de un polinomio (escrito en orden decreciente de exponentes), obtenemos el f-polinomio de Δ. En nuestros dos ejemplos anteriores, los f -polinomios serían y , respectivamente. ${\displaystyle x^{3}+6x^{2}+12x+8}$ ${\displaystyle x^{4}+18x^{3}+23x^{2}+8x+1}$

Los combinatoristas suelen estar bastante interesados ​​en el vector h de un complejo simplicial Δ, que es la secuencia de coeficientes del polinomio que resulta de sustituir x  − 1 en el f -polinomio de Δ. Formalmente, si escribimos F _Δ ( x ) en el sentido del polinomio f de Δ, entonces el polinomio h de Δ es

${\displaystyle F_{\Delta }(x-1)=h_{0}x^{d+1}+h_{1}x^{d}+h_{2}x^{d-1}+\cdots +h_{d}x+h_{d+1}}$

y el h -vector de Δ es

${\displaystyle (h_{0},h_{1},h_{2},\cdots ,h_{d+1}).}$

Calculamos el vector h del límite del octaedro (nuestro primer ejemplo) de la siguiente manera:

${\displaystyle F(x-1)=(x-1)^{3}+6(x-1)^{2}+12(x-1)+8=x^{3}+3x^{2}+3x+1.}$

Entonces el h -vector del límite del octaedro es (1, 3, 3, 1). No es casualidad que el vector h sea simétrico. De hecho, esto sucede siempre que Δ es el límite de un politopo simplicial (estas son las ecuaciones de Dehn-Sommerville ). Sin embargo, en general, el vector h de un complejo simplicial ni siquiera es necesariamente positivo. Por ejemplo, si tomamos Δ como el complejo de 2 dado por dos triángulos que se cruzan solo en un vértice común, el h -vector resultante es (1, 3, −2).

Una caracterización completa de todos los politopos simpliciales h -vectores la proporciona el célebre teorema g de Stanley , Billera y Lee.

Se puede ver que los complejos simples tienen la misma estructura geométrica que el gráfico de contacto de un empaque de esferas (un gráfico donde los vértices son los centros de las esferas y los bordes existen si los elementos de empaque correspondientes se tocan entre sí) y como tales se pueden usar para determinar la combinatoria de empaquetamientos de esferas , como el número de pares en contacto (1-simplices), tripletes en contacto (2-simplices) y cuádruples en contacto (3-simplices) en un empaquetamiento de esferas.

Problemas computacionales

El problema de reconocimiento de complejos simpliciales es: dado un complejo simplicial finito, decidir si es homeomorfo a un objeto geométrico dado. Este problema es indecidible para cualquier variedad d -dimensional para d ≥ 5.

Ver también

• Complejo simple abstracto
• subdivisión baricéntrica
• Triangulación dinámica causal.
• conjunto delta
• Cadena poligonal  - complejo simplicial unidimensional
• Lema de Tucker
• árbol simplex

Referencias

1. Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : conferencias sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler, Sección 4.3
2. De Loera, Jesús A .; Rambau, Jörg; Santos, Francisco (2010), Triangulaciones: Estructuras para Algoritmos y Aplicaciones, Algoritmos y Computación en Matemáticas, vol. 25, Springer, pág. 493, ISBN 9783642129711.
3. Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : conferencias sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler, Sección 4.3

• Spanier, Edwin H. (1966), Topología algebraica , Springer, ISBN 0-387-94426-5
• Maunder, Charles RF (1996), Topología algebraica (reimpresión de la edición de 1980), Mineola, Nueva York: Dover, ISBN 0-486-69131-4, SEÑOR  1402473
• Hilton, Peter J .; Wylie, Shaun (1967), Teoría de la homología , Nueva York: Cambridge University Press , ISBN 0-521-09422-4, SEÑOR  0115161

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Complejo simple". MundoMatemático .
• Norman J. Wildberger. "Simplices y complejos simpliciales". Una charla en youtube..