Enlace (complejo simple)

El vínculo en un complejo simplicial es una generalización de la vecindad de un vértice en un gráfico. El enlace de un vértice codifica información sobre la estructura local del complejo en el vértice.

Enlace de un vértice

Dado un complejo simplicial abstracto $X$ y un vértice en , su vínculo es un conjunto que contiene todas las caras tales que y es una cara de $X$ . ${\estilo de texto v}$ ${\estilo de texto V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\estilo de texto \tau \en X}$ ${\textstyle v\not \in \tau }$ ${\textstyle \tau \cup \{v\}}$

En el caso especial en el que $X$ es un complejo unidimensional (es decir: un gráfico ), contiene todos los vértices tales que son una arista en el gráfico; es decir, la vecindad de en el gráfico. ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\estilo de texto u\neq v}$ ${\estilo de texto \{u,v\}}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)={\mathcal {N}}(v)=}$ ${\estilo de texto v}$

Dado un complejo geométrico simplicial $X$ y , su vínculo es un conjunto que contiene todas las caras tales que y hay un simplex que tiene como vértice y como cara. ^[1]^{: 3} De manera equivalente, la unión es una cara en . ^[2]^{: 20} ${\estilo de texto v\en V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\estilo de texto \tau \en X}$ ${\textstyle v\not \in \tau }$ ${\estilo de texto X}$ ${\estilo de texto v}$ ${\estilo de texto \tau }$ ${\estilo de texto v\star \tau }$ ${\estilo de texto X}$

Como ejemplo, supongamos que v es el vértice superior del tetraedro de la izquierda. Entonces el eslabón de v es el triángulo en la base del tetraedro. Esto se debe a que, para cada arista de ese triángulo, la unión de v con la arista es un triángulo (uno de los tres triángulos a los lados del tetraedro); y la unión de v con el triángulo mismo es el tetraedro completo.
El eslabón de un vértice de un tetraedro es el triángulo.

Una definición alternativa es: el vínculo de un vértice es el gráfico $Lk($ $v$ $,$ $X$ $)$ construido de la siguiente manera. Los vértices de $Lk($ $v$ $,$ $X$ $)$ son las aristas de $X$ incidentes con $v$ . Dos de estos bordes son adyacentes en $Lk($ $v$ $,$ $X$ $)$ si inciden en una celda común de 2 en $v$ . ${\estilo de texto v\en V(X)}$

Al gráfico $Lk(v, X)$ a menudo se le da la topología de una bola de radio pequeño centrada en $v$ ; es análogo a una esfera centrada en un punto. ^[3]

enlace de una cara

La definición de un vínculo se puede extender desde un único vértice a cualquier cara.

Dado un complejo simplicial abstracto $X$ y cualquier cara de $X$ , su enlace es un conjunto que contiene todas las caras que son disjuntas y son una cara de $X$ :. ${\estilo de texto \sigma }$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$ ${\estilo de texto \tau \en X}$ ${\estilo de texto \sigma,\tau}$ ${\textstyle \tau \cup \sigma }$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:~\tau \cap \sigma =\emptyset ,~\tau \cup \sigma \in X\}}$

Dado un complejo geométrico simplicial $X$ y cualquier cara , su enlace es un conjunto que contiene todas las caras que son disjuntas y hay un simplex que tiene ambas y como caras. ^[1]^{: 3} ${\estilo de texto \sigma \en X}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$ ${\estilo de texto \tau \en X}$ ${\estilo de texto \sigma,\tau}$ ${\estilo de texto X}$ ${\estilo de texto \sigma }$ ${\estilo de texto \tau }$

Ejemplos

El vínculo de un vértice de un tetraedro es un triángulo: los tres vértices del vínculo corresponden a las tres aristas incidentes al vértice, y las tres aristas del vínculo corresponden a las caras incidentes al vértice. En este ejemplo, el vínculo se puede visualizar cortando el vértice con un plano; formalmente, intersectar el tetraedro con un plano cerca del vértice; la sección transversal resultante es el vínculo.

Otro ejemplo se ilustra a continuación. Hay un complejo simplicial bidimensional. A la izquierda hay un vértice marcado en amarillo. A la derecha, el enlace de ese vértice está marcado en verde.

Un vértice y su vínculo .

Propiedades

Para cualquier complejo simplicial $X$ , cada vínculo está cerrado hacia abajo y, por lo tanto, también es un complejo simplicial; es un subcomplejo de $X$ . ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$
Debido a que $X$ es simplicial, existe un isomorfismo de conjunto entre y el conjunto : cada corresponde a , que está en . ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$ $X_{\sigma }:=\{\rho \in X{\text{ tal que }}\sigma \subseteq \rho \}$ ${\textstyle \tau \in \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$ ${\textstyle \tau \cup \sigma }$ $X_{\sigma}$

Enlace y estrella

Un concepto muy relacionado con el vínculo es el de estrella .

Dado un complejo simplicial abstracto $X$ y cualquier cara , su estrella es un conjunto que contiene todas las caras que son caras de $X.$ En el caso especial en el que $X$ es un complejo unidimensional (es decir: un gráfico ), contiene todas las aristas de todos los vértices que son vecinos de . Es decir, es una estrella de teoría de grafos centrada en . ${\estilo de texto \sigma \en X}$ ${\estilo de texto V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma,X)}$ ${\estilo de texto \tau \en X}$ ${\textstyle \tau \cup \sigma }$ ${\textstyle \operatorname {St} (v,X)}$ ${\estilo de texto \{u,v\}}$ ${\estilo de texto u}$ ${\estilo de texto v}$ ${\estilo de texto u}$

Dado un complejo geométrico simplicial $X$ y cualquier cara , su estrella es un conjunto que contiene todas las caras tal que hay un simplex al tener ambas y como caras :. En otras palabras, es el cierre del conjunto : el conjunto de simples que tienen como cara. ${\estilo de texto \sigma \en X}$ ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma,X)}$ ${\estilo de texto \tau \en X}$ ${\estilo de texto X}$ ${\estilo de texto \sigma }$ ${\estilo de texto \tau }$ ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:\exists \rho \in X:\tau ,\sigma {\text{ son caras de }}\rho \} }$ ${\textstyle \{\rho \in X:\sigma {\text{ es una cara de }}\rho \}}$ ${\estilo de texto \sigma }$

Entonces el enlace es un subconjunto de la estrella. La estrella y el enlace están relacionados de la siguiente manera:

Para cualquier , . ^[1]^{: 3} ${\estilo de texto \sigma \en X}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)=\{\tau \in \operatorname {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\emptyset \}}$
Para cualquier , es decir, la estrella de es el cono de su enlace en . ^[2]^{: 20} ${\estilo de texto v\en V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {St} (v,X)=v\star \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\estilo de texto v}$ ${\estilo de texto v}$

A continuación se ilustra un ejemplo. Hay un complejo simplicial bidimensional. A la izquierda hay un vértice marcado en amarillo. A la derecha, la estrella de ese vértice está marcada en verde.

Un vértice y su estrella .

Ver también

Figura de vértice : un concepto geométrico similar al vínculo simplicial.

Referencias

^ abc Bryant, John L. (1 de enero de 2001), Daverman, RJ; Sher, RB (eds.), "Capítulo 5 - Topología lineal por partes", Manual de topología geométrica , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 219-259, ISBN 978-0-444-82432-5, recuperado el 15 de noviembre de 2022
^ ab Rourke, Colin P .; Sanderson, Brian J. (1972). Introducción a la topología lineal por partes. doi :10.1007/978-3-642-81735-9. ISBN 978-3-540-11102-3.
^ Bridson, Martín ; Haefliger, André (1999), Espacios métricos de curvatura no positiva , Springer , ISBN 3-540-64324-9