En teoría geométrica de grupos , un gráfico de grupos es un objeto que consiste en una colección de grupos indexados por los vértices y aristas de un gráfico , junto con una familia de monomorfismos de los grupos de aristas en los grupos de vértices. Existe un grupo único, llamado grupo fundamental , asociado canónicamente a cada grafo finito conexo de grupos. Admite una acción preservadora de la orientación sobre un árbol : la gráfica original de grupos se puede recuperar a partir de la gráfica de cocientes y de los subgrupos estabilizadores . Esta teoría, comúnmente denominada teoría de Bass-Serre , se debe al trabajo de Hyman Bass y Jean-Pierre Serre .
Una gráfica de grupos sobre una gráfica Y es una asignación a cada vértice x de Y de un grupo G x y a cada arista y de Y de un grupo G y así como a los monomorfismos φ y ,0 y φ y ,1 mapeando G y en los grupos asignados a los vértices en sus extremos.
Sea T un árbol de expansión para Y y defina el grupo fundamental Γ como el grupo generado por los grupos de vértices G x y los elementos y para cada arista de Y con las siguientes relaciones:
Esta definición es independiente de la elección de T.
El beneficio de definir el grupoide fundamental de un gráfico de grupos, como lo muestra Higgins (1976), es que se define independientemente del punto base o del árbol. También se ha demostrado una bonita forma normal para los elementos del grupoide fundamental. Esto incluye teoremas de forma normal para un producto libre con fusión y para una extensión HNN (Bass 1993).
Sea Γ el grupo fundamental correspondiente al árbol de expansión T . Para cada vértice x y arista y , G x y G y se pueden identificar con sus imágenes en Γ . Es posible definir un gráfico con vértices y aristas como la unión disjunta de todos los espacios laterales Γ/ G x y Γ/ G y respectivamente. Este gráfico es un árbol , llamado árbol de cobertura universal , sobre el cual actúa Γ . Admite el grafo Y como dominio fundamental . La gráfica de grupos dada por los subgrupos estabilizadores en el dominio fundamental corresponde a la gráfica de grupos original.
La generalización más simple posible de un gráfico de grupos es un complejo de grupos bidimensional . Estos se modelan en orbifolds que surgen de acciones cocompactas propiamente discontinuas de grupos discretos en complejos simpliciales bidimensionales que tienen la estructura de espacios CAT(0) . El cociente del complejo simplicial tiene grupos estabilizadores finitos unidos a vértices, aristas y triángulos junto con monomorfismos para cada inclusión de simples. Se dice que un complejo de grupos es desarrollable si surge como cociente de un complejo simplicial CAT(0). La desarrollabilidad es una condición de curvatura no positiva en el complejo de grupos: se puede verificar localmente verificando que todos los circuitos que ocurren en los enlaces de los vértices tengan una longitud de al menos seis. Tales complejos de grupos surgieron originalmente en la teoría de los edificios bidimensionales de Bruhat-Tits ; su definición general y su continuo estudio se han inspirado en las ideas de Gromov .