Producto gratuito

Operación que combina grupos

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , el producto libre es una operación que toma dos grupos G y H y construye un nuevo grupo G ∗ H. El resultado contiene tanto G como H como subgrupos , es generado por los elementos de estos subgrupos y es el grupo " universal " que tiene estas propiedades, en el sentido de que dos homomorfismos cualesquiera de G y H en un grupo K se factorizan únicamente a través de un homomorfismo. de GRAMO ∗ H a K . A menos que uno de los grupos G y H sea trivial, el producto libre siempre es infinito. La construcción de un producto libre es similar en espíritu a la construcción de un grupo libre (el grupo universal con un conjunto dado de generadores).

El producto gratuito es el coproducto en la categoría de grupos . Es decir, el producto libre juega el mismo papel en la teoría de grupos que la unión disjunta en la teoría de conjuntos , o que la suma directa juega en la teoría de módulos . Incluso si los grupos son conmutativos, su producto libre no lo es, a menos que uno de los dos grupos sea el grupo trivial . Por lo tanto, el producto libre no es el coproducto en la categoría de grupos abelianos .

El producto libre es importante en topología algebraica debido al teorema de van Kampen , que establece que el grupo fundamental de la unión de dos espacios topológicos conexos por caminos cuya intersección también está conexa por caminos es siempre un producto libre amalgamado de los grupos fundamentales de los espacios. . En particular, el grupo fundamental de la suma de cuña de dos espacios (es decir, el espacio obtenido al unir dos espacios en un solo punto) es, bajo ciertas condiciones dadas en el teorema de Seifert van-Kampen, el producto libre de los grupos fundamentales de los espacios.

Los productos libres también son importantes en la teoría de Bass-Serre , el estudio de grupos que actúan mediante automorfismos en los árboles . Específicamente, cualquier grupo que actúe con estabilizadores de vértices finitos en un árbol puede construirse a partir de grupos finitos utilizando productos libres fusionados y extensiones HNN . Utilizando la acción del grupo modular sobre una determinada teselación del plano hiperbólico , se deduce de esta teoría que el grupo modular es isomorfo al producto libre de grupos cíclicos de órdenes 4 y 6 amalgamados sobre un grupo cíclico de orden 2.

Construcción

Si G y H son grupos, una palabra en G y H es una secuencia de la forma

${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n},}$

donde cada s _i es un elemento de G o un elemento de H . Dicha palabra se puede reducir mediante las siguientes operaciones:

• Elimine una instancia del elemento de identidad (de G o H ).
• Reemplace un par de la forma g ₁ g ₂ por su producto en G , o un par h ₁ h ₂ por su producto en H .

Cada palabra reducida es un producto alterno de elementos de G y elementos de H , por ejemplo

${\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.}$

El producto libre G ∗ H es el grupo cuyos elementos son las palabras reducidas en G y H , bajo la operación de concatenación seguida de reducción.

Por ejemplo, si G es el grupo cíclico infinito y H es el grupo cíclico infinito , entonces cada elemento de G ∗ H es un producto alterno de potencias de x con potencias de y . En este caso, G ∗ H es isomorfo al grupo libre generado por x e y . ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle \langle y\rangle }$

Presentación

Suponer que

${\displaystyle G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle }$

es una presentación para G (donde S _G es un conjunto de generadores y R _G es un conjunto de relaciones), y supongamos que

${\displaystyle H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle }$

es una presentación para H . Entonces

${\displaystyle G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .}$

Es decir, G ∗ H es generado por los generadores de G junto con los generadores de H , con relaciones que consisten en las relaciones de G junto con las relaciones de H (supongamos aquí que no hay conflictos de notación, por lo que en realidad son uniones disjuntas ).

Ejemplos

Por ejemplo, supongamos que G es un grupo cíclico de orden 4,

${\displaystyle G=\langle x\mid x^{4}=1\rangle ,}$

y H es un grupo cíclico de orden 5

${\displaystyle H=\langle y\mid y^{5}=1\rangle .}$

Entonces G ∗ H es el grupo infinito

${\displaystyle G*H=\langle x,y\mid x^{4}=y^{5}=1\rangle .}$

Como no hay relaciones en un grupo libre, el producto libre de los grupos libres es siempre un grupo libre. En particular,

${\displaystyle F_{m}*F_{n}\cong F_{m+n},}$

donde F _n denota el grupo libre en n generadores.

Otro ejemplo es el grupo modular . Es isomorfo al producto libre de dos grupos cíclicos: ^[1] ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )\cong (\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\ast (\mathbf {Z} /3\mathbf {Z} ).}$

Generalización: Producto gratuito con fusión.

La construcción más general de producto gratuito con fusión es correspondientemente un tipo especial de exclusión en la misma categoría . Supongamos que y se dan como antes, junto con monomorfismos (es decir, homomorfismos de grupo inyectivo ): ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \varphi :F\rightarrow G\ \,}$y ${\displaystyle \ \,\psi :F\rightarrow H,}$

donde hay algún grupo arbitrario. Comience con el producto gratuito y conéctelo como relaciones. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G*H}$

${\displaystyle \varphi (f)\psi (f)^{-1}=1}$

por cada en . En otras palabras, tome el subgrupo normal más pequeño que contiene todos los elementos en el lado izquierdo de la ecuación anterior, que tácitamente se consideran mediante las inclusiones de y en su producto libre. El producto libre con amalgama de y , con respecto a y , es el grupo cociente ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G*H}$ ${\displaystyle G*H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle (G*H)/N.\,}$

La fusión ha obligado a una identificación entre in y in , elemento por elemento. Esta es la construcción necesaria para calcular el grupo fundamental de dos espacios conectados unidos a lo largo de un subespacio conectado por camino, asumiendo el papel del grupo fundamental del subespacio. Ver: Teorema de Seifert-van Kampen . ${\displaystyle \varphi (F)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \psi (F)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F}$

Karrass y Solitar han dado una descripción de los subgrupos de un producto libre con fusión. ^[2] Por ejemplo, los homomorfismos desde y hacia el grupo cociente que son inducidos por y son ambos inyectivos, al igual que el homomorfismo inducido de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (G*H)/N}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle F}$

Los productos gratuitos con fusión y una noción estrechamente relacionada de extensión HNN son componentes básicos de la teoría de Bass-Serre de los grupos que actúan sobre los árboles.

En otras ramas

De manera similar, se pueden definir productos libres de otras estructuras algebraicas distintas de los grupos, incluidas las álgebras sobre un campo . Los productos libres de álgebras de variables aleatorias desempeñan el mismo papel al definir la " libertad " en la teoría de la probabilidad libre que los productos cartesianos al definir la independencia estadística en la teoría de probabilidad clásica .

Ver también

• Producto directo de grupos.
• Coproducto
• Grafica de grupos
• Teorema del subgrupo de Kurosh
• Forma normal para grupos libres y producto libre de grupos
• propiedad universal

Referencias

1. Alperin, Roger C. (abril de 1993). "PSL ₂ (Z) = Z ₂ * Z ₃ ". América. Matemáticas. Mensual . 100 : 385–386. doi :10.1080/00029890.1993.11990418.
2. A. Karrass y D. Solitar (1970) Los subgrupos de un producto libre de dos grupos con un subgrupo fusionado, Transactions of the American Mathematical Society 150: 227–255.