Expulsión (teoría de categorías)

Completación más general de un cuadrado conmutativo dados dos morfismos con el mismo dominio

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un pushout (también llamado coproducto fibroso o suma fibrosa o cuadrado cocartesiano o suma amalgamada ) es el colimit de un diagrama que consta de dos morfismos f  : Z → X y g  : Z → Y con un dominio común . La expulsión consta de un objeto P junto con dos morfismos X → P e Y → P que completan un cuadrado conmutativo con los dos morfismos dados f y g . De hecho, la propiedad universal que define la expulsión (que se proporciona a continuación) esencialmente dice que la expulsión es la forma "más general" de completar este cuadrado conmutativo. Las notaciones comunes para el pushout son y . ${\displaystyle P=X\sqcup _{Z}Y}$ ${\displaystyle P=X+_{Z}Y}$

La expulsión es el dualismo categórico del retroceso .

propiedad universal

Explícitamente, la expulsión de los morfismos f y g consta de un objeto P y dos morfismos i ₁  : X → P e i ₂  : Y → P tales que el diagrama

conmuta y tal que ( P , i ₁ , i ₂ ) es universal con respecto a este diagrama. Es decir, para cualquier otro triplete ( Q , j ₁ , j ₂ ) para el cual el siguiente diagrama conmuta, debe existir un único u  : P → Q que también haga que el diagrama conmute:

Como ocurre con todas las construcciones universales, la expulsión, si existe, es única hasta un isomorfismo único .

Ejemplos de expulsiones

A continuación se muestran algunos ejemplos de expulsiones en categorías familiares . Tenga en cuenta que en cada caso, solo proporcionamos una construcción de un objeto en la clase de isomorfismo de expulsiones; Como se mencionó anteriormente, aunque puede haber otras formas de construirlo, todas son equivalentes.

• Supongamos que X , Y y Z como arriba son conjuntos , y que f  :  Z  →  X y g  :  Z  →  Y son funciones de conjuntos. La expulsión de f y g es la unión disjunta de X e Y , donde se identifican elementos que comparten una preimagen común (en Z ), junto con los morfismos i ₁ , i ₂ de X e Y , es decir, donde ~ es la relación de equivalencia más fina. (cf. también esto ) tal que f ( z ) ~  g ( z ) para todo z en Z. En particular, si X e Y son subconjuntos de algún conjunto más grande, W y Z es su intersección , siendo f y g los mapas de inclusión de Z en X e Y , entonces la expulsión puede identificarse canónicamente con la unión . ${\displaystyle P=(X\sqcup Y)/\!\sim }$ ${\displaystyle X\cup Y\subseteq W}$
  • Un caso específico de esto es la cografía de una función. Si es una función, entonces la cografía de una función es la expulsión de f a lo largo de la función identidad de X. En términos elementales, el cografo es el cociente de por la relación de equivalencia generada al identificarse con . Una función puede ser recuperada por su cografo porque cada clase de equivalencia contiene precisamente un elemento de Y. Las cografías son duales a las gráficas de funciones , ya que la gráfica puede definirse como el retroceso de f a lo largo de la identidad de Y. ^{[1] [2]} ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X\sqcup Y}$ ${\displaystyle x\in X\subseteq X\sqcup Y}$ ${\displaystyle f(x)\in Y\subseteq X\sqcup Y}$ ${\displaystyle X\sqcup Y}$
• La construcción de espacios de conjunción es un ejemplo de expulsión en la categoría de espacios topológicos . Más precisamente, si Z es un subespacio de Y y g  : Z → Y es el mapa de inclusión , podemos "pegar" Y a otro espacio X a lo largo de Z usando un "mapa adjunto" f  : Z → X . El resultado es el espacio de adjunción , que es simplemente la expulsión de f y g . De manera más general, todos los espacios de identificación pueden considerarse de esta manera como expulsión. ${\displaystyle X\cup _{f}Y}$
• Un caso especial de lo anterior es la suma de cuña o unión de un punto; aquí tomamos X e Y como espacios puntiagudos y Z como espacio de un punto. Entonces el pushout es el espacio obtenido pegando el punto base de X al punto base de Y. ${\displaystyle X\vee Y}$
• En la categoría de grupos abelianos , las expulsiones pueden considerarse como " suma directa con pegado" de la misma manera que pensamos en los espacios de adjunción como " unión disjunta con pegado". El grupo cero es un subgrupo de cada grupo , por lo que para cualquier grupo abeliano A y B , tenemos homomorfismos y . La salida de estos mapas es la suma directa de A y B. Generalizando al caso donde f y g son homomorfismos arbitrarios de un dominio común Z , se obtiene para la expulsión un grupo cociente de la suma directa; es decir, modificamos por el subgrupo que consta de pares ( f ( z ), − g ( z )). Así hemos "pegado" las imágenes de Z debajo de f y g . Un enfoque similar produce la expulsión en la categoría de R -módulos para cualquier anillo R. ${\displaystyle f:0\to A}$ ${\displaystyle g:0\to B}$
• En la categoría de grupos , el pushout se denomina producto gratuito con fusión . Aparece en el teorema de topología algebraica de Seifert-van Kampen (ver más abajo).
• En CRing , la categoría de anillos conmutativos (una subcategoría completa de la categoría de anillos ), la expulsión viene dada por el producto tensor de anillos con los morfismos y que satisfacen . De hecho, dado que el empuje es el colímite de un tramo y el retroceso es el límite de un cospan , podemos pensar en el producto tensor de anillos y el producto fibroso de anillos (ver la sección de ejemplos) como nociones duales entre sí. En particular, sean A , B y C objetos (anillos conmutativos con identidad) en CRing y sean f  : C → A y g  : C → B morfismos ( homomorfismos de anillo ) en CRing . Entonces el producto tensorial es: ${\displaystyle A\otimes _{C}B}$ ${\displaystyle g':A\rightarrow A\otimes _{C}B}$ ${\displaystyle f':B\rightarrow A\otimes _{C}B}$ ${\displaystyle f'\circ g=g'\circ f}$

${\displaystyle A\otimes _{C}B=\left\{\sum _{i\in I}(a_{i},b_{i})\;{\big |}\;a_{i}\in A,b_{i}\in B\right\}{\Bigg /}{\bigg \langle }(f(c)a,b)-(a,g(c)b)\;{\big |}\;a\in A,b\in B,c\in C{\bigg \rangle }}$

• Ver Producto libre de álgebras asociativas para el caso de anillos no conmutativos.
• En el monoide multiplicativo de enteros positivos , considerado como una categoría con un objeto, la expulsión de dos enteros positivos myn es solo el par , donde los numeradores son ambos el mínimo común múltiplo de myn . Tenga en cuenta que el mismo par es también el retroceso. ${\displaystyle \mathbf {Z} _{+}}$ ${\displaystyle \left({\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}},{\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}\right)}$

Propiedades

• Siempre que existe la expulsión A  ⊔ _C B , entonces B  ⊔ _C A también existe y hay un isomorfismo natural A  ⊔ _C B ≅ B  ⊔ _C A .
• En una categoría abeliana , todas las expulsiones existen y preservan los cokernels en el siguiente sentido: si ( P , i ₁ , i ₂ ) es la expulsión de f  : Z → X y g  : Z → Y , entonces el mapa natural coker( f ) → coker( i ₂ ) es un isomorfismo, al igual que el mapa natural coker( g ) → coker( i ₁ ).
• Existe un isomorfismo natural ( A ⊔ _C B ) ⊔ _B D ≅ A ⊔ _C D . Explícitamente, esto significa:
  • si los mapas f  : C → A , g  : C → B y h  : B → D están dados y
  • la expulsión de f y g viene dada por i  : A → P y j  : B → P , y
  • la expulsión de j y h está dada por k  : P → Q y l  : D → Q ,
  • entonces la expulsión de f y hg viene dada por ki  : A → Q y l  : D → Q .

Gráficamente, esto significa que dos cuadrados de expulsión, colocados uno al lado del otro y que comparten un morfismo, forman un cuadrado de expulsión más grande al ignorar el morfismo compartido interno.

Construcción mediante coproductos y coecualizadores.

Los pushouts son equivalentes a coproductos y coecualizadores (si hay un objeto inicial ) en el sentido de que:

• Los coproductos son una expulsión del objeto inicial, y el coecualizador de f , g  : X → Y es la expulsión de [ f , g ] y [1 _X , 1 _X ], por lo que si hay expulsiones (y un objeto inicial), luego están los coecualizadores y coproductos;
• Las expulsiones se pueden construir a partir de coproductos y coecualizadores, como se describe a continuación (la expulsión es el coecualizador de los mapas del coproducto).

Todos los ejemplos anteriores pueden considerarse casos especiales de la siguiente construcción muy general, que funciona en cualquier categoría C que satisfaga:

• Para cualquier objeto A y B de C , su coproducto existe en C ;
• Para cualquier morfismo j y k de C con el mismo dominio y el mismo objetivo, el coecualizador de j y k existe en C.

En esta configuración, obtenemos la expulsión de los morfismos f  : Z → X y g  : Z → Y formando primero el coproducto de los objetivos X e Y. Entonces tenemos dos morfismos de Z a este coproducto. Podemos ir de Z a X mediante f y luego incluirlo en el coproducto, o podemos ir de Z a Y mediante g y luego incluirlo en el coproducto. La expulsión de f y g es el coecualizador de estos nuevos mapas.

Aplicación: el teorema de Seifert-van Kampen

El teorema de Seifert-van Kampen responde a la siguiente pregunta. Supongamos que tenemos un espacio X conectado por caminos , cubierto por subespacios abiertos A y B conectados por caminos cuya intersección D también está conectada por caminos. (Supongamos también que el punto base * se encuentra en la intersección de A y B. ) Si conocemos los grupos fundamentales de A , B y su intersección D , ¿podemos recuperar el grupo fundamental de X ? La respuesta es sí, siempre que conozcamos también los homomorfismos inducidos y el teorema dice que el grupo fundamental de X es la expulsión de estos dos mapas inducidos. Por supuesto, X es la expulsión de los dos mapas de inclusión de D en A y B. Por lo tanto, podemos interpretar el teorema como una confirmación de que el functor del grupo fundamental preserva las expulsiones de inclusiones. Podríamos esperar que esto sea más simple cuando D es simplemente conexo , ya que entonces ambos homomorfismos anteriores tienen dominio trivial. De hecho, este es el caso, ya que entonces la expulsión (de grupos) se reduce al producto libre , que es el coproducto en la categoría de grupos. En un caso más general estaremos hablando de un producto gratuito con amalgama . ${\displaystyle \pi _{1}(D,*)\to \pi _{1}(A,*)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(D,*)\to \pi _{1}(B,*).}$

Hay una exposición detallada de esto, en un entorno un poco más general ( que cubre los grupoides ) en el libro de JP May que figura en las referencias.

Referencias

• May, JP Un curso conciso sobre topología algebraica. Prensa de la Universidad de Chicago, 1999.

  Una introducción a los enfoques categóricos de la topología algebraica: la atención se centra en el álgebra y asume un trasfondo topológico.

• Ronald Brown "Topología y grupoides" pdf disponible Da cuenta de algunos métodos categóricos en topología, utiliza el grupoide fundamental en un conjunto de puntos base para dar una generalización del teorema de Seifert-van Kampen.

• Philip J. Higgins, Descarga gratuita de "Categorías y grupoides" Explica algunos usos de los grupoides en teoría y topología de grupos.

Referencias

1. Riehl, Teoría de categorías en contexto , p. xiii
2. https://math.stackexchange.com/questions/1350657/does-the-concept-of-cograph-of-a-function-have-natural-generalisations-exten

enlaces externos

• expulsión en nLab