Teorema de Seifert-Van Kampen

Describe el grupo fundamental en términos de una cobertura por dos subespacios conectados por caminos abiertos.

En matemáticas , el teorema de topología algebraica de Seifert-Van Kampen (llamado así por Herbert Seifert y Egbert van Kampen ), a veces llamado simplemente teorema de Van Kampen , expresa la estructura del grupo fundamental de un espacio topológico en términos de los grupos fundamentales de dos espacios abiertos. , subespacios conectados por caminos que cubren . Por lo tanto, se puede utilizar para cálculos del grupo fundamental de espacios que se construyen a partir de espacios más simples. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Teorema de Van Kampen para grupos fundamentales

Sea X un espacio topológico que es la unión de dos subespacios U ₁ , U ₂ abiertos y conectados por caminos . Supongamos que U ₁ ∩ U ₂ es un camino conexo y no vacío , y sea x ₀ un punto en U ₁ ∩ U ₂ que se usará como base de todos los grupos fundamentales. Los mapas de inclusión de U ₁ y U ₂ en X inducen homomorfismos de grupo y . Entonces X es un camino conexo y forma un diagrama de expulsión conmutativo : ${\displaystyle j_{1}:\pi _{1}(U_{1},x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle j_{2}:\pi _{1}(U_{2},x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle j_{1}}$ ${\displaystyle j_{2}}$

El morfismo natural k es un isomorfismo . Es decir, el grupo fundamental de X es el producto libre de los grupos fundamentales de U ₁ y U ₂ con fusión de . ^[1] ${\displaystyle \pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})}$

Generalmente los morfismos inducidos por la inclusión en este teorema no son en sí mismos inyectivos , y la versión más precisa de la afirmación es en términos de expulsión de grupos .

Teorema de Van Kampen para los grupoides fundamentales

Desafortunadamente, el teorema dado anteriormente no calcula el grupo fundamental del círculo , que es el ejemplo básico más importante en topología algebraica, porque el círculo no puede realizarse como la unión de dos conjuntos abiertos con intersección conexa . Este problema se puede resolver trabajando con el grupoide fundamental en un conjunto A de puntos base, elegidos según la geometría de la situación. Así, para el círculo, se utilizan dos puntos base. ^[2] ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$

Este grupoide consta de clases de homotopía relativas a los puntos finales de las rutas en X que unen puntos de A ∩ X . En particular, si X es un espacio contráctil y A consta de dos puntos distintos de X , entonces se ve fácilmente que es isomorfo al grupoide que a menudo se escribe con dos vértices y exactamente un morfismo entre dos vértices cualesquiera. Este grupoide juega un papel en la teoría de los grupoides análogo al del grupo de números enteros en la teoría de grupos. ^[3] El grupoide también permite a los grupoides una noción de homotopía: es un objeto de intervalo unitario en la categoría de grupoides. ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Una unión conectada de dos espacios no conectados, con un conjunto de puntos base.

La categoría de grupoides admite todos los colimites y, en particular, todos los expulsión.

Teorema. Deje que el espacio topológico X esté cubierto por los interiores de dos subespacios X ₁ , X ₂ y sea A un conjunto que encuentra cada componente de camino de X ₁ , X ₂ y X ₀ = X ₁ ∩ X ₂ . Entonces A encuentra cada componente del camino de X y el diagrama P de morfismos inducidos por la inclusión

es un diagrama de exclusión en la categoría de grupoides. ^[4]

Este teorema da la transición de la topología al álgebra , al determinar completamente el grupoide fundamental ; Entonces hay que utilizar álgebra y combinatoria para determinar un grupo fundamental en algún punto base. ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$

Una interpretación del teorema es que calcula tipos de homotopía 1. Para ver su utilidad, se pueden encontrar fácilmente casos en los que X está conectado pero es la unión de los interiores de dos subespacios, cada uno con, digamos, 402 componentes de trayectoria y cuya intersección tiene, digamos, 1004 componentes de trayectoria. La interpretación de este teorema como herramienta de cálculo para "grupos fundamentales" necesita algún desarrollo de la "teoría agrupatoria combinatoria". ^{[5] [6]} Este teorema implica el cálculo del grupo fundamental del círculo como el grupo de números enteros, ya que el grupo de números enteros se obtiene del grupoide identificando, en la categoría de grupoides, sus dos vértices. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Existe una versión del último teorema cuando X está cubierto por la unión de los interiores de una familia de subconjuntos. ^{[7] [8]} ${\displaystyle \{U_{\lambda }:\lambda \in \Lambda \}}$

La conclusión es que si A encuentra cada componente de la trayectoria de todas las intersecciones de 1,2,3 veces de los conjuntos , entonces A encuentra todas las componentes de la trayectoria de X y el diagrama ${\displaystyle U_{\lambda }}$

${\displaystyle \bigsqcup _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda ^{2}}\pi _{1}(U_{\lambda }\cap U_{\mu },A)\rightrightarrows \bigsqcup _{\lambda \in \Lambda }\pi _{1}(U_{\lambda },A)\rightarrow \pi _{1}(X,A)}$

de morfismos inducidos por inclusiones es un coecualizador en la categoría de grupoides.

[...] la gente todavía se obstina, al calcular con grupos fundamentales, en fijar un único punto base, en lugar de elegir inteligentemente todo un conjunto de puntos que son invariables bajo las simetrías de la situación, que así se pierden en el camino. En determinadas situaciones (como los teoremas de descendencia para grupos fundamentales a la Van Kampen) es mucho más elegante, incluso indispensable para comprender algo, trabajar con grupoides fundamentales con respecto a un paquete adecuado de puntos base [...]

—  Alexander Grothendieck , Programa Esquisse d'un (Sección 2, traducción al inglés)

Formulaciones equivalentes

En el lenguaje de la teoría combinatoria de grupos , si es un espacio topológico; y son subespacios abiertos y conectados por caminos de ; no está vacío y está conectado por caminos; y ; entonces es el producto libre con fusión de y , con respecto a los homomorfismos (no necesariamente inyectivos) y . Presentaciones grupales dadas : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap V}$ ${\displaystyle w\in U\cap V}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,w)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(U,w)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(V,w)}$ ${\displaystyle I:\pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(U,w)}$ ${\displaystyle J:\pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(V,w)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(U,w)&=\langle u_{1},\dots ,u_{k}\mid \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}\rangle \\\pi _{1}(V,w)&=\langle v_{1},\dots ,v_{m}\mid \beta _{1},\dots ,\beta _{n}\rangle \\\pi _{1}(U\cap V,w)&=\langle w_{1},\dots ,w_{p}\mid \gamma _{1},\dots ,\gamma _{q}\rangle \end{aligned}}}$

la fusión se puede presentar ^[9] como

${\displaystyle \pi _{1}(X,w)=\left\langle u_{1},\dots ,u_{k},v_{1},\dots ,v_{m}\left|\alpha _{1},\dots ,\alpha _{l},\beta _{1},\dots ,\beta _{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1},\dots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\right.\right\rangle .}$

En teoría de categorías , es el pushout , en la categoría de grupos , del diagrama: ${\displaystyle \pi _{1}(X,w)}$

${\displaystyle \pi _{1}(U,w)\gets \pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(V,w).}$

Ejemplos

2 esferas

Se puede utilizar el teorema de Van Kampen para calcular grupos fundamentales de espacios topológicos que pueden descomponerse en espacios más simples. Por ejemplo, considere la esfera . Elija conjuntos abiertos y donde n y s denoten los polos norte y sur respectivamente. Entonces tenemos la propiedad de que A , B y A ∩ B son conjuntos conexos de camino abierto. Así podemos ver que hay un diagrama conmutativo que incluye A ∩ B en A y B y luego otra inclusión de A y B en y que hay un diagrama correspondiente de homomorfismos entre los grupos fundamentales de cada subespacio. Aplicando el teorema de Van Kampen se obtiene el resultado. ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle A=S^{2}\setminus \{n\}}$ ${\displaystyle B=S^{2}\setminus \{s\}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

${\displaystyle \pi _{1}(S^{2})=\pi _{1}(A)\cdot \pi _{1}(B)/\ker(\Phi ).}$

Sin embargo, A y B son ambos homeomorfos a R ² que es simplemente conexo , por lo que tanto A como B tienen grupos fundamentales triviales . De esto se desprende claramente que el grupo fundamental de es trivial. ${\displaystyle S^{2}}$

Suma de cuña de espacios

Dados dos espacios puntiagudos , podemos formar su suma de cuña , tomando el cociente de identificando sus dos puntos base. ${\displaystyle (X,x)}$ ${\displaystyle (Y,y)}$ ${\displaystyle (X\vee Y,p)}$ ${\displaystyle X\coprod Y}$

Si admite una vecindad abierta contráctil y admite una vecindad abierta contráctil (que es el caso si, por ejemplo, y son complejos CW ), entonces podemos aplicar el teorema de Van Kampen tomando y como los dos conjuntos abiertos y concluimos que la El grupo fundamental de la cuña es el producto libre de los grupos fundamentales de los dos espacios con los que empezamos: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle V\subset Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\vee Y}$ ${\displaystyle X\vee V}$ ${\displaystyle U\vee Y}$

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y,p)\cong \pi _{1}(X,x)*\pi _{1}(Y,y)}$.

Superficies orientables género -g

Un ejemplo más complicado es el cálculo del grupo fundamental de una superficie orientable de género- n S , también conocida como grupo de superficies de género-n . Se puede construir S utilizando su polígono fundamental estándar . Para el primer conjunto abierto A , elija un disco dentro del centro del polígono. Elija B para que sea el complemento en S del punto central de A. Entonces, la intersección de A y B es un anillo , que se sabe que es equivalente en homotopía (y por lo tanto tiene el mismo grupo fundamental que) un círculo. Entonces , que son los números enteros, y . Por tanto, la inclusión de into envía cualquier generador al elemento trivial. Sin embargo, la inclusión de into no es trivial. Para entender esto, primero hay que calcular . Esto se hace fácilmente ya que se puede retraer B por deformación (que es S con un punto eliminado) en los bordes etiquetados por ${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)=\pi _{1}(S^{1})}$ ${\displaystyle \pi _{1}(A)=\pi _{1}(D^{2})={1}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(A)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$

${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}.}$

Se sabe que este espacio es la suma de cuña de 2 n círculos (también llamado ramo de círculos ), que además tiene un grupo fundamental isomorfo al grupo libre con 2 n generadores, que en este caso puede representarse por las aristas. ellos mismos: . Ahora tenemos suficiente información para aplicar el teorema de Van Kampen. Los generadores son los bucles ( A está simplemente conectado, por lo que no aporta generadores) y existe exactamente una relación: ${\displaystyle \{A_{1},B_{1},\dots ,A_{n},B_{n}\}}$ ${\displaystyle \{A_{1},B_{1},\dots ,A_{n},B_{n}\}}$

${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1.}$

Usando generadores y relaciones, este grupo se denota

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1},\dots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .}$

Conectividad simple

Si X es un espacio que puede escribirse como la unión de dos conjuntos abiertos simplemente conexos U y V con U ∩ V no vacío y conexo por camino , entonces X es simplemente conexo. ^[10]

Generalizaciones

Como se explicó anteriormente, Ronald Brown amplió este teorema al caso no conexo utilizando el grupoide fundamental en un conjunto A de puntos base. El teorema de las coberturas arbitrarias, con la restricción de que A cumple con las tres intersecciones de los conjuntos de la cobertura, lo presentan Brown y Abdul Razak Salleh en el artículo. ^[11] El teorema y la prueba del grupo fundamental, pero utilizando algunos métodos grupoides, también se dan en el libro de J. Peter May . ^[12] La versión que permite más de dos conjuntos superpuestos pero con A como singleton también se proporciona en el libro de Allen Hatcher a continuación, teorema 1.20. ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$

Las aplicaciones del grupoide fundamental en un conjunto de puntos base al teorema de la curva de Jordan , los espacios de cobertura y los espacios de órbita se dan en el libro de Ronald Brown. ^[13] En el caso de espacios orbitales, es conveniente tomar A para incluir todos los puntos fijos de la acción. Un ejemplo aquí es la acción de conjugación en el círculo.

En un artículo sobre teorías de grupos y grupoides de dimensiones superiores se dan referencias a versiones del teorema de dimensiones superiores que proporcionan cierta información sobre los tipos de homotopía. ^[14] Así , Ronald Brown y Philip J. Higgins dieron un teorema de Van Kampen bidimensional que calcula segundos grupos de homotopía relativa no abelianos. ^[15] Brown, Higgins y Rafael Sivera brindan una descripción completa y extensiones a todas las dimensiones, ^{[16] mientras que Ronald Brown y} Jean-Louis Loday brindan una extensión a n -cubos de espacios . ^[17]

Los grupos fundamentales también aparecen en geometría algebraica y son el tema principal del primer Séminaire de géométrie algébrique (SGA1) de Alexander Grothendieck . Allí aparece una versión del teorema de Van Kampen, que se demuestra siguiendo líneas muy diferentes a las de la topología algebraica, es decir, mediante la teoría de la descendencia. Una prueba similar funciona en topología algebraica. ^[18]

Ver también

• Álgebra de dimensiones superiores
• Teoría de categoría superior
• Pseudocírculo
• Ronald Brown (matemático)

Notas

1. Lee, John M. (2011). Introducción a las variedades topológicas (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4419-7939-1. OCLC  697506452.pág. 252, Teorema 10.1.
2. R. Brown, Grupoides y teorema de Van Kampen, Proc. Matemáticas de Londres. Soc . (3) 17 (1967) 385–401.
3. Ronald Brown. "Grupoides en Matemáticas". http://groupoids.org.uk/gpdsweb.html
4. R. Marrón. Topología y grupoides. , Booksurge PLC (2006). http://groupoids.org.uk/topgpds.html
5. PJ Higgins, Categorías y grupoides , Van Nostrand, 1971, Reimpresiones de teoría y aplicaciones de categorías, núm. 7 (2005), págs.
6. R. Brown, Topología y grupoides. , Booksurge PLC (2006).
7. Ronald Brown, Philip J. Higgins y Rafael Sivera. Topología algebraica nobeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica , European Mathematical Society Tracts vol 15, agosto de 2011.
8. "Teoremas de Van Kampen generalizados de dimensiones superiores (HD-GVKT)".
9. Lee 2011, pág. 253, Teorema 10.3.
10. Greenberg y Harper 1981
11. Marrón, Ronald; Salleh, Abdul Razak (1984). "Un teorema de Van Kampen para uniones de espacios no conectados". Archiv der Mathematik . 42 (1). Basilea: 85–88. doi :10.1007/BF01198133.
12. Mayo, J. Peter (1999). Una introducción concisa a la topología algebraica . Capitulo 2.
13. Brown, Ronald, "Topología y grupoides", Booksurge, (2006)
14. Ronald Brown. "Teoría de grupos de dimensiones superiores". 2007. http://www.bangor.ac.uk/~mas010/hdaweb2.htm
15. Marrón, Ronald; Higgins, Philip J. (1978). "Sobre la conexión entre los segundos grupos de homotopía relativa de algunos espacios relacionados". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 3. 36 : 193–212. doi :10.1112/plms/s3-36.2.193.
16. Brown, Ronald, Higgins, Philip J. y Sivera, Rafael, "Topología algebraica nonabeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica", EMS Tracts in Mathematics vol 15, 20011. http://groupoids.org.uk /nonab-at.html
17. Marrón, Ronald; Loday, Jean-Louis (1987). "Teoremas de Van Kampen para diagramas de espacios". Topología . 26 : 311–334. doi :10.1016/0040-9383(87)90004-8.
18. Douady, Adrien y Douady, Régine, "Algèbre et théories galoisiennes", Cassini (2005)

Referencias

• Allen Hatcher, topología algebraica. (2002) Cambridge University Press, Cambridge, xii+544 págs. ISBN 0-521-79160-X e ISBN 0-521-79540-0  
• Peter May, Un curso conciso de topología algebraica. (1999) University of Chicago Press, ISBN 0-226-51183-9 (La sección 2.7 proporciona una presentación teórica de categorías del teorema como colimit en la categoría de grupoides) . 
• Ronald Brown, grupoides y teorema de Van Kampen, Proc. Matemáticas de Londres. Soc . (3) 17 (1967) 385–401.
• Discusión de Mathoverflow sobre muchos puntos básicos
• Ronald Brown, Topología y grupoides (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8 
• R. Brown y A. Razak, Un teorema de Van Kampen para uniones de espacios no conexos, Archiv. Matemáticas. 42 (1984) 85–88. (Este artículo ofrece probablemente la versión óptima del teorema, es decir, la versión grupoide del teorema para una cubierta abierta arbitraria y un conjunto de puntos base que encuentra cada componente de trayectoria de cada intersección de 1-,2-3 veces de los conjuntos de la cubierta.)
• PJ Higgins, Categorías y grupoides (1971) Van Nostrand Reinhold
• Ronald Brown, Teoría de grupos de dimensiones superiores (2007) (ofrece una visión amplia de los teoremas de Van Kampen de dimensiones superiores que involucran múltiples grupoides) .
• Greenberg, Marvin J.; Harper, John R. (1981), Topología algebraica. Un primer curso , Serie de notas de conferencias de matemáticas, vol. 58, Benjamín/Cummings, ISBN 0805335579
• Seifert, H. , Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume . Berichte Sachs. Akád. Leipzig, Matemáticas-Física. kl. (83) (1931) 26–66.
• ER van Kampen. Sobre la conexión entre los grupos fundamentales de algunos espacios relacionados. Revista Estadounidense de Matemáticas, vol. 55 (1933), págs. 261–267.
• Brown, R., Higgins, P. J, Sobre la conexión entre los segundos grupos de homotopía relativa de algunos espacios relacionados , Proc. Matemáticas de Londres. Soc. (3) 36 (1978) 193–212.
• Brown, R., Higgins, PJ y Sivera, R.. 2011, EMS Tracts in Mathematics Vol.15 (2011) Topología algebraica nobeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica; (La primera de tres partes analiza las aplicaciones de las versiones unidimensionales y bidimensionales del teorema de Seifert-van Kampen. La última permite cálculos de segundos grupos de homotopía relativa nobelianos y, de hecho, de tipos de homotopía 2. La segunda parte se aplica un teorema de van Kampen de homotopía superior para complejos cruzados, demostrado en la Parte III.)
• "Resultado del teorema de Van Kampen". PlanetMath .
• R. Brown, H. Kamps, T. Porter: Un grupoide doble de homotopía de un espacio de Hausdorff II: un teorema de Van Kampen, Teoría y aplicaciones de categorías, 14 (2005) 200–220.
• Dylan GL Allegretti, Conjuntos simpliciales y teorema de Van Kampen (analiza versiones generalizadas del teorema de Van Kampen aplicado a espacios topológicos y conjuntos simpliciales).
• R. Brown y J.-L. Loday, "Teoremas de Van Kampen para diagramas de espacios", Topología 26 (1987) 311–334.

Este artículo incorpora material del teorema de Van Kampen sobre PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

enlaces externos

• Medios relacionados con el teorema de Seifert-Van Kampen en Wikimedia Commons