Fuera(Fn)

Grupo de automorfismos externos de un grupo libre en n generadores

En matemáticas , Out( F _n ) es el grupo de automorfismos externos de un grupo libre sobre n generadores . Estos grupos se encuentran en una etapa universal en la teoría de grupos geométricos , ya que actúan sobre el conjunto de presentaciones con generadores de cualquier grupo finitamente generado . ^[1] A pesar de las analogías geométricas con los grupos lineales generales y los grupos de clases de mapeo , su complejidad generalmente se considera más desafiante, lo que ha impulsado el desarrollo de nuevas técnicas en el campo. ${\displaystyle n}$

Definición

Sea el grupo no abeliano libre de rango . El conjunto de automorfismos internos de , es decir, automorfismos obtenidos como conjugaciones por un elemento de , es un subgrupo normal . El grupo de automorfismos externos de es el cociente Un elemento de se denomina clase externa. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {Inn} (F_{n})\triangleleft \mathrm {Aut} (F_{n})}$ ${\displaystyle F_{n}}$ $${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n}):=\mathrm {Aut} (F_{n})/\mathrm {Inn} (F_{n}).}$$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$

Relaciones con otros grupos

Grupos lineales

La función de abelianización induce un homomorfismo de al grupo lineal general , siendo este último el grupo de automorfismo de . Esta función es sobreyectiva, lo que hace que se produzca una extensión de grupo , ${\displaystyle F_{n}\to \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$

${\displaystyle 1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1}$.

El núcleo es el grupo Torelli de . ${\displaystyle \mathrm {Tor} (F_{n})}$ ${\displaystyle F_{n}}$

La función es un isomorfismo . Esto ya no es válido para los rangos superiores: el grupo de Torelli de contiene el automorfismo que fija dos elementos base y multiplica el restante por el conmutador de los otros dos. ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{2})\to \mathrm {GL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle F_{3}}$

Autor(Fnorte)

Por definición, es una extensión del grupo de automorfismos internos por . El propio grupo de automorfismos internos es la imagen de la acción por conjugación , que tiene como núcleo el centro . Como es trivial para , esto da una secuencia exacta corta Para todos , hay incrustaciones obtenidas al tomar la clase externa de la extensión de un automorfismo de fijar el generador adicional. Por lo tanto, al estudiar propiedades que son heredadas por subgrupos y cocientes, las teorías de y son esencialmente las mismas. ${\displaystyle \mathrm {Aut} (F_{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {Inn} (F_{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$ ${\displaystyle Z(F_{n})}$ ${\displaystyle Z(F_{n})}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ $${\displaystyle 1\rightarrow F_{n}\rightarrow \mathrm {Aut} (F_{n})\rightarrow \mathrm {Out} (F_{n})\rightarrow 1.}$$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (F_{n})\longrightarrow \mathrm {Out} (F_{n+1})}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (F_{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$

Asignación de grupos de clases a superficies

Debido a que es el grupo fundamental de un ramo de n círculos , puede describirse topológicamente como el grupo de clases de aplicación de un ramo de n círculos (en la categoría de homotopía ), en analogía con el grupo de clases de aplicación de una superficie cerrada que es isomorfa al grupo de automorfismo externo del grupo fundamental de esa superficie. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$

Dado cualquier grafo finito con grupo fundamental , el grafo puede ser "engrosado" a una superficie con un componente de contorno que se retrae sobre el grafo. La secuencia exacta de Birman produce un mapa a partir del grupo de clases de mapeo . Los elementos de que están en la imagen de tal mapa se denominan geométricos. Tales clases externas deben dejar invariante la palabra cíclica correspondiente al contorno, por lo tanto, hay muchas clases externas no geométricas. Una recíproca es verdadera bajo algunos supuestos de irreducibilidad, ^[2] proporcionando realización geométrica para clases externas que fijan una clase de conjugación. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {MCG} (S)\longrightarrow \mathrm {Out} (F_{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$

Resultados conocidos

• Para , no es lineal, es decir, no tiene una representación fiel mediante matrices sobre un cuerpo (Formanek, Procesi, 1992); ^[3] ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$
• Para , la función isoperimétrica de es exponencial (Hatcher, Vogtmann, 1996); ^[4] ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$
• La alternativa de Tits se cumple en : cada subgrupo es virtualmente resoluble o bien contiene un grupo libre de rango 2 (Bestvina, Feighn, Handel, 2000); ^[5] ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$
• Cada subgrupo resoluble de tiene un subgrupo abeliano libre finitamente generado de índice finito (Bestvina, Feighn, Handel, 2004); ^[6] ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$
• Para , todos, excepto un número finito de los morfismos de homología de grado th inducidos por la secuencia son isomorfismos (Hatcher y Vogtmann, 2004); ^[7] ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle \ldots \rightarrow \mathrm {Out} (F_{n-1})\rightarrow \mathrm {Out} (F_{n})\rightarrow \mathrm {Out} (F_{n+1})\rightarrow \ldots }$$
• Para , tiene la propiedad de Kazhdan (T) (Kaluba, Nowak, Ozawa, 2019 para ; Kaluba, Kielak, Nowak, 2021 para ); ^[8] ${\displaystyle n\geq 5}$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$ ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle n\geq 6}$
• Se construyeron acciones sobre complejos hiperbólicos que satisfacen condiciones de acilindricidad , en analogía con complejos como el complejo de curvas para mapear grupos de clases. ^[9]

Espacio exterior

Out( F _n ) actúa geométricamente sobre un complejo celular conocido como espacio exterior de Culler – Vogtmann , que puede considerarse como el espacio de Fricke-Teichmüller para un ramo de círculos .

Definición

Un punto del espacio exterior es esencialmente un -grafo X homotópicamente equivalente a un ramo de n círculos junto con una cierta elección de una clase de homotopía libre de una equivalencia de homotopía de X al ramo de n círculos. Un -grafo es simplemente un grafo ponderado con pesos en . La suma de todos los pesos debe ser 1 y todos los pesos deben ser positivos. Para evitar la ambigüedad (y para obtener un espacio de dimensión finita) se requiere además que la valencia de cada vértice sea al menos 3. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Una visión más descriptiva que evita la equivalencia de homotopía f es la siguiente. Podemos fijar una identificación del grupo fundamental del ramo de n círculos con el grupo libre en n variables. Además, podemos elegir un árbol maximal en X y elegir para cada arista restante una dirección. Ahora asignaremos a cada arista restante e una palabra en de la siguiente manera. Considere el camino cerrado que comienza con e y luego regresa al origen de e en el árbol maximal. Componiendo este camino con f obtenemos un camino cerrado en un ramo de n círculos y, por lo tanto, un elemento en su grupo fundamental . Este elemento no está bien definido; si cambiamos f por una homotopía libre obtenemos otro elemento. Resulta que esos dos elementos son conjugados entre sí, y por lo tanto podemos elegir el único elemento cíclicamente reducido en esta clase de conjugación. Es posible reconstruir el tipo de homotopía libre de f a partir de estos datos. Este punto de vista tiene la ventaja de que evita la elección adicional de f y tiene la desventaja de que surge una ambigüedad adicional porque hay que elegir un árbol máximo y una orientación de los bordes restantes. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$

La operación de Out( F _n ) en el espacio exterior se define de la siguiente manera. Todo automorfismo g de induce una equivalencia de autohomotopía g′ del ramo de n círculos. Al componer f con g′ se obtiene la acción deseada. Y en el otro modelo es solo la aplicación de g y la reducción cíclica de la palabra resultante. ${\displaystyle F_{n}}$

Conexión con funciones de longitud

Cada punto del espacio exterior determina una función de longitud única . Una palabra en determina, a través de la equivalencia de homotopía elegida, un camino cerrado en X. La longitud de la palabra es entonces la longitud mínima de un camino en la clase de homotopía libre de ese camino cerrado. Dicha función de longitud es constante en cada clase de conjugación. La asignación define una incrustación del espacio exterior en algún espacio proyectivo de dimensión infinita. ${\displaystyle l_{X}\colon F_{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle X\mapsto l_{X}}$

Estructura simple en el espacio exterior

En el segundo modelo, un símplex abierto está dado por todos aquellos grafos que tienen combinatoriamente el mismo grafo subyacente y las mismas aristas están etiquetadas con las mismas palabras (solo la longitud de las aristas puede diferir). Los símplex de contorno de dicho símplex consisten en todos los grafos que surgen de este grafo al colapsar una arista. Si esa arista es un bucle, no se puede colapsar sin cambiar el tipo de homotopía del grafo. Por lo tanto, no hay símplex de contorno. Por lo tanto, uno puede pensar en el espacio exterior como un complejo simplicial con algunos símplex eliminados. Es fácil verificar que la acción de es simplicial y tiene grupos de isotropía finitos. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {Out} (F_{n})}$

Véase también

• Mapa de vías del tren
• Grupo de automorfismos de un grupo libre
• Espacio exterior

Referencias

1. Lubotzky, Alexander (15 de diciembre de 2011), Dinámica de las acciones de Aut(Fn) en presentaciones y representaciones grupales , arXiv : 1109.0155
2. Bestvina, Mladen; Handel, Michael (1992). "Vías de tren y automorfismos de grupos libres". Anales de Matemáticas . 135 (1): 1–51. doi :10.2307/2946562. ISSN  0003-486X. JSTOR  2946562.
3. Formanek, Edward; Procesi, Claudio (1992-07-01). "El grupo de automorfismos de un grupo libre no es lineal". Journal of Algebra . 149 (2): 494–499. doi :10.1016/0021-8693(92)90029-L. ISSN  0021-8693.
4. Hatcher, Allen; Vogtmann, Karen (1 de abril de 1996). "Desigualdades isoperimétricas para grupos de automorfismos de grupos libres". Revista del Pacífico de Matemáticas . 173 (2): 425–441. ISSN  0030-8730.
5. Bestvina, Mladen; Feighn, Mark; Handel, Michael (2000). "La alternativa de Tits para out(Fn) I: dinámica de automorfismos de crecimiento exponencial". Anales de Matemáticas . 151 (2): 517–623. arXiv : math/9712217 . doi :10.2307/121043. ISSN  0003-486X. JSTOR  121043.
6. Bestvina, Mladen; Feighn, Mark; Handel, Michael (1 de marzo de 2004). "Los subgrupos resolubles de Out(Fn) son virtualmente abelianos". Geometriae Dedicata . 104 (1): 71–96. doi :10.1023/B:GEOM.0000022864.30278.34. ISSN  1572-9168.
7. Hatcher, Allen; Vogtmann, Karen (24 de diciembre de 2004). "Estabilidad de homología para grupos de automorfismos externos de grupos libres". Topología algebraica y geométrica . 4 (2): 1253–1272. arXiv : math/0406377 . doi :10.2140/agt.2004.4.1253. ISSN  1472-2739.
8. Kaluba, Marek; Kielak, Dawid; Nowak, Piotr W. (2021-01-20), Sobre la propiedad (T) para $\operatorname{Aut}(F_n)$ y $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$, arXiv : 1812.03456 , consultado el 13 de octubre de 2024
9. Bestvina, Mladen (15 de diciembre de 2023). "Grupos que actúan en espacios hiperbólicos: un estudio". ems.press . Consultado el 13 de octubre de 2024 .

• Culler, Marc ; Vogtmann, Karen (1986). "Módulos de grafos y automorfismos de grupos libres" (PDF) . Inventiones Mathematicae . 84 (1): 91–119. doi :10.1007/BF01388734. MR  0830040.
• Vogtmann, Karen (2002). "Automorfismos de grupos libres y espacio exterior" (PDF) . Geometriae Dedicata . 94 : 1–31. doi :10.1023/A:1020973910646. MR  1950871.
• Vogtmann, Karen (2008), "¿Qué es... el espacio exterior?" (PDF) , Avisos de la American Mathematical Society , 55 (7): 784–786, MR  2436509