Espacio topológico obtenido pegando una colección de círculos a lo largo de un solo punto
Una rosa de cuatro pétalos.
En matemáticas , una rosa (también conocida como ramo de n círculos ) es un espacio topológico obtenido pegando una colección de círculos a lo largo de un solo punto. Los círculos de la rosa se llaman pétalos . Las rosas son importantes en topología algebraica , donde están estrechamente relacionadas con grupos libres .
Una rosa es una suma de cuñas de círculos . Es decir, la rosa es el espacio cociente C / S , donde C es una unión disjunta de círculos y S un conjunto formado por un punto de cada círculo. Como complejo celular , una rosa tiene un solo vértice y una arista por cada círculo. Esto lo convierte en un ejemplo simple de gráfico topológico .
También se puede obtener una rosa con n pétalos identificando n puntos en un solo círculo. La rosa de dos pétalos se conoce como figura de ocho .
Relación con grupos libres
La cobertura universal de la figura ocho se puede visualizar mediante el gráfico de Cayley del grupo libre en dos generadores a y b.
Las cubiertas intermedias del rosal corresponden a subgrupos del grupo libre. La observación de que cualquier cobertura de una rosa es un gráfico proporciona una prueba sencilla de que todo subgrupo de un grupo libre es libre (el teorema de Nielsen-Schreier )
Debido a que la cubierta universal de una rosa es contráctil , la rosa es en realidad un espacio de Eilenberg-MacLane para el grupo libre asociado F. Esto implica que los grupos de cohomología H n ( F ) son triviales para n ≥ 2.
Un disco al que se le han quitado n puntos (o una esfera a la que se le han quitado n + 1 puntos) se retrae sobre una rosa con n pétalos. Un pétalo de la rosa rodea cada uno de los puntos eliminados.
Un toro al que se le ha quitado un punto de deformación se retrae formando un ocho, es decir, la unión de dos círculos generadores. De manera más general, una superficie del género g con un punto eliminado de deformación se retrae sobre una rosa con pétalos de 2 g , es decir, el límite de un polígono fundamental .
Una rosa puede tener infinitos pétalos, lo que da lugar a un grupo fundamental que está libre en infinitos generadores. La rosa con infinitos pétalos numerables es similar al arete hawaiano : hay una biyección continua de esta rosa al arete hawaiano, pero los dos no son homeomórficos . Una rosa con infinitos pétalos no es compacta, mientras que el pendiente hawaiano sí lo es.
