En teoría de nudos , una proyección de pétalos de un nudo es un diagrama de nudos con un solo cruce, en el que se encuentran un número impar de arcos no anidados ("pétalos"). Debido a que la relación arriba-abajo entre las ramas de un nudo en este punto de cruce no es evidente en la apariencia del diagrama, debe especificarse por separado, como una permutación que describe el orden de arriba a abajo de las ramas.
Cada nudo o eslabón tiene una proyección de pétalos; el número mínimo de pétalos en dicha proyección define una invariante de nudo , el número de pétalos del nudo. Las proyecciones de pétalos se pueden utilizar para definir el modelo de Petaluma , una familia de distribuciones de probabilidad en nudos con un número determinado de pétalos, definida eligiendo una permutación aleatoria para las ramas de un diagrama de pétalos.
Una proyección de pétalo es una descripción de un nudo como un tipo especial de diagrama de nudo, una curva bidimensional que se cruza a sí misma formada al proyectar el nudo desde tres dimensiones hasta un plano. En una proyección de pétalos, este diagrama tiene un solo punto de cruce, formando una rosa topológica . Cada dos ramales de la curva que pasan por este punto se cruzan allí; No se permiten ramas que se crucen tangencialmente sin cruzarse. Los "pétalos" formados por arcos de la curva que parten y luego regresan a este punto de cruce son todos discos cerrados delimitadores, no anidados, que están separados excepto por su intersección común en el punto de cruce. [1]
Más allá de esta descripción topológica, la forma precisa de la curva no tiene importancia. Por ejemplo, curvas de este tipo podrían representarse algebraicamente como ciertas curvas en forma de rosa . Sin embargo, es común dibujar una proyección de pétalos utilizando segmentos de línea recta a través del punto de cruce, conectados en sus extremos por curvas suaves para formar los pétalos. [1]
Para especificar la relación arriba-abajo de las ramas de la curva en el punto de cruce, cada rama está etiquetada con un número entero, desde 1 hasta el número de ramas, indicando su posición en el orden de arriba hacia abajo de las ramas como sería verse desde un punto de vista tridimensional sobre el diagrama proyectado. La permutación cíclica de estos números enteros, en el orden radial de las ramas alrededor del punto de cruce, puede usarse como una descripción puramente combinatoria de la proyección del pétalo. [1]
Para formar un solo nudo, en lugar de un vínculo, la proyección de un pétalo debe tener un número impar de ramas en su punto de cruce. Cada nudo se puede representar como una proyección de pétalos, en diagramas con un número suficientemente grande de pétalos. El número mínimo posible de pétalos en una proyección de pétalos de un nudo determinado define una invariante del nudo llamada número de pétalos. [1] [2]
El modelo de Petaluma es una distribución aleatoria de nudos, parametrizada por un número impar de pétalos en un diagrama de pétalos, y definida mediante la construcción de un diagrama de pétalos con este número de pétalos utilizando una permutación uniformemente aleatoria en sus ramas. [3]
Las proyecciones de pétalos y el modelo petaluma se pueden generalizar desde nudos hasta enlaces. Sin embargo, para esta generalización, ya no es posible garantizar que todos los pétalos no estén anidados. En cambio, las proyecciones de pétalos generalizadas para enlaces tienen un tipo diferente de diagrama estándar que permite cierto anidamiento de los pétalos. [3]
