Complejo de presentación

En teoría geométrica de grupos , un complejo de presentación es un complejo de células bidimensional asociado a cualquier presentación de un grupo G. El complejo tiene un solo vértice y un bucle en el vértice para cada generador de G. Hay una celda de 2 para cada relación en la presentación, con el límite de la celda de 2 adjunto a lo largo de la palabra apropiada .

Propiedades

• El grupo fundamental del complejo de presentación es el propio grupo G.
• La cubierta universal del complejo de presentación es un complejo de Cayley para G , cuyo esqueleto 1 es el gráfico de Cayley de G.
• Cualquier complejo de presentación para G es el esqueleto 2 de un espacio de Eilenberg-MacLane . ${\displaystyle K(G,1)}$

Ejemplos

Sea la red de enteros bidimensionales , con presentación ${\displaystyle G=\mathbb {Z} ^{2}}$

${\displaystyle G=\langle x,y|xyx^{-1}y^{-1}\rangle .}$

Entonces el complejo de presentación para G es un toro , obtenido pegando los lados opuestos de un cuadrado, los de 2 celdas, que están etiquetados como x e y . Las cuatro esquinas del cuadrado están pegadas en un solo vértice, la celda 0 del complejo de presentación, mientras que un par formado por círculos longitudinales y meridianos en el toro, que se cruzan en el vértice, constituye su esqueleto 1.

El complejo de Cayley asociado es un mosaico regular del plano por cuadrados unitarios. El 1-esqueleto de este complejo es un gráfico de Cayley para . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

Sea el grupo diédrico Infinito , con presentación . El complejo de presentación es la suma de cuñas de planos proyectivos . Para cada camino, hay dos celdas pegadas a cada bucle, lo que proporciona la estructura de celdas estándar para cada plano proyectivo. El complejo de Cayley es una cadena infinita de esferas. ^[1] ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{2}\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}\vee \mathbb {RP} ^{2}}$

Referencias

1. Hatcher, Allen (3 de diciembre de 2001). Topología algebraica (1ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 9780521795401.

• Roger C. Lyndon y Paul E. Schupp , Teoría combinatoria de grupos . Reimpresión de la edición de 1977 ( Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 89). Clásicos en Matemáticas. Springer-Verlag , Berlín, 2001 ISBN 3-540-41158-5 
• Ronald Brown y Johannes Huebschmann, Identidades entre relaciones , en Topología de baja dimensión, London Math. Soc. Lecture Note Series 48 (ed. R. Brown y TL Thickstun, Cambridge University Press, 1982), págs.
• Hog-Angeloni, Cynthia, Metzler, Wolfgang y Sieradski, Allan J. (eds.). Homotopía bidimensional y teoría combinatoria de grupos , Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, volumen 197. Cambridge University Press, Cambridge (1993).