Grupo de clases de mapeo

Grupo de clases de isotopías de un grupo de automorfismo topológico.

En matemáticas , en el subcampo de la topología geométrica , el grupo de clases de mapeo es un invariante algebraico importante de un espacio topológico . Brevemente, el grupo de clases de mapeo es un determinado grupo discreto correspondiente a simetrías del espacio.

Motivación

Considere un espacio topológico, es decir, un espacio con alguna noción de cercanía entre puntos en el espacio. Podemos considerar el conjunto de homeomorfismos del espacio en sí mismo, es decir, aplicaciones continuas con inversas continuas : funciones que estiran y deforman el espacio continuamente sin romperlo ni pegarlo. Este conjunto de homeomorfismos puede considerarse como un espacio en sí mismo. Forma un grupo bajo composición funcional. También podemos definir una topología sobre este nuevo espacio de homeomorfismos. Los conjuntos abiertos de este nuevo espacio funcional estarán formados por conjuntos de funciones que mapean subconjuntos compactos K en subconjuntos abiertos U a medida que K y U se extienden a lo largo de nuestro espacio topológico original, completado con sus intersecciones finitas (que deben ser abiertas por definición de topología). ) y uniones arbitrarias (nuevamente que deben ser abiertas). Esto da una noción de continuidad en el espacio de funciones, de modo que podemos considerar la deformación continua de los propios homeomorfismos: llamadas homotopías . Definimos el grupo de clases de mapeo tomando clases de homotopía de homeomorfismos e induciendo la estructura del grupo a partir de la estructura del grupo de composición funcional ya presente en el espacio de los homeomorfismos.

Definición

El término grupo de clases de mapeo tiene un uso flexible. Se utiliza con mayor frecuencia en el contexto de una variedad M. El grupo de clases de mapeo de M se interpreta como el grupo de clases de isotopías de automorfismos de M. Entonces , si M es una variedad topológica , el grupo de clases de mapeo es el grupo de clases de isotopías de homeomorfismos de M. Si M es una variedad suave , el grupo de clases de mapeo es el grupo de clases de isotopías de difeomorfismos de M. Siempre que el grupo de automorfismos de un objeto X tiene una topología natural , el grupo de clases de mapeo de X se define como , donde está el componente de ruta de la identidad en . (Observe que en la topología abierta compacta, los componentes de ruta y las clases de isotopía coinciden, es decir, dos mapas f y g están en el mismo componente de ruta si son isotópicos ^{[ cita necesaria ]} ). Para espacios topológicos, esta suele ser la topología abierta compacta . En la literatura sobre topología de baja dimensión , el grupo de clases de mapeo de X generalmente se denota como MCG( X ), aunque también se denota con frecuencia , donde se sustituye Aut por el grupo apropiado para la categoría a la que pertenece X. Aquí se denota el grupo de homotopía 0-ésimo de un espacio. ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)/\operatorname {Aut} _{0}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} _{0}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$ ${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {Aut} (X))}$ ${\displaystyle \pi _{0}}$

Entonces, en general, hay una secuencia corta y exacta de grupos:

${\displaystyle 1\rightarrow \operatorname {Aut} _{0}(X)\rightarrow \operatorname {Aut} (X)\rightarrow \operatorname {MCG} (X)\rightarrow 1.}$

Con frecuencia esta secuencia no se divide . ^[1]

Si se trabaja en la categoría de homotopía , el grupo de clases de mapeo de X es el grupo de clases de homotopía de equivalencias de homotopía de X.

Hay muchos subgrupos de clases de mapeo que se estudian con frecuencia. Si M es una variedad orientada, serían los automorfismos que preservan la orientación de M y, por lo tanto, el grupo de clases de mapeo de M (como una variedad orientada) sería el índice dos en el grupo de clases de mapeo de M (como una variedad no orientada) siempre que M admita un automorfismo de inversión de orientación. De manera similar, el subgrupo que actúa como identidad en todos los grupos de homología de M se llama grupo Torelli de M. ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

Ejemplos

Esfera

En cualquier categoría (suave, PL, topológica, homotopía) ^[2]

${\displaystyle \operatorname {MCG} (S^{2})\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$

correspondientes a mapas de grado  ±1.

Toro

En la categoría de homotopía

${\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\simeq \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} ).}$

Esto se debe a que el toroide de n dimensiones es un espacio de Eilenberg-MacLane . ${\displaystyle \mathbf {T} ^{n}=(S^{1})^{n}}$

Para otras categorías, si , ^[3] uno tiene las siguientes secuencias divididas exactamente: ${\displaystyle n\geq 5}$

En la categoría de espacios topológicos.

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}$

En la categoría PL

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}$

(⊕ representa suma directa ). En la categoría suave

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\oplus \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\Gamma _{i+1}\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}$

donde están los grupos abelianos finitos de esferas de homotopía de Kervaire-Milnor y es el grupo de orden 2. ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Superficies

Los grupos de superficies de clases de mapeo se han estudiado intensamente y, a veces, se denominan grupos modulares de Teichmüller (obsérvese el caso especial anterior), ya que actúan en el espacio de Teichmüller y el cociente es el espacio de módulos de las superficies de Riemann homeomorfas a la superficie. Estos grupos exhiben características similares tanto a los grupos hiperbólicos como a los grupos lineales de rango superior ^{[ cita requerida ]} . Tienen muchas aplicaciones en la teoría de Thurston de las tres variedades geométricas (por ejemplo, para haces de superficies ). Los elementos de este grupo también han sido estudiados por sí mismos: un resultado importante es el teorema de clasificación de Nielsen-Thurston , y los giros de Dehn , que son en cierto sentido las clases de mapeo "más simples", dan una familia generadora para el grupo . Cada grupo finito es un subgrupo del grupo de clases cartográficas de una superficie cerrada y orientable; ^[4] de hecho, se puede realizar cualquier grupo finito como el grupo de isometrías de alguna superficie compacta de Riemann (lo que inmediatamente implica que se inyecta en el grupo de clases de mapeo de la superficie topológica subyacente). ${\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{2})}$

Superficies no orientables

Algunas superficies no orientables tienen grupos de clases de mapeo con presentaciones simples. Por ejemplo, todo homeomorfismo del plano proyectivo real es isotópico de la identidad: ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {P} ^{2}(\mathbb {R} ))=1.}$

El grupo de clases de mapeo de la botella K de Klein es:

${\displaystyle \operatorname {MCG} (K)=\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}.}$

Los cuatro elementos son la identidad, un giro de Dehn en una curva de dos lados que no une una tira de Möbius , el homeomorfismo y de Lickorish y el producto del giro y el homeomorfismo y. Es un buen ejercicio demostrar que el cuadrado del giro de Dehn es isotópico de la identidad.

También observamos que el género cerrado tres superficies no orientables N ₃ (la suma conexa de tres planos proyectivos) tiene:

${\displaystyle \operatorname {MCG} (N_{3})=\operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} ).}$

Esto se debe a que la superficie N tiene una clase única de curvas unilaterales, de modo que, cuando N se corta a lo largo de dicha curva C , la superficie resultante es un toro al que se le ha quitado un disco . Como superficie no orientada, su grupo de clases de mapeo es . (Lema 2.1 ^[5] ). ${\displaystyle N\setminus C}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} )}$

3-colectores

El mapeo de grupos de clases de 3 variedades también ha recibido un estudio considerable y está estrechamente relacionado con el mapeo de grupos de clases de 2 variedades. Por ejemplo, cualquier grupo finito se puede realizar como el grupo de clases de mapeo (y también el grupo de isometría) de una variedad 3 hiperbólica compacta. ^[6]

Mapeo de grupos de pares de clases

Dado un par de espacios (X,A), el grupo de clases de mapeo del par son las clases de isotopías de automorfismos del par, donde un automorfismo de (X,A) se define como un automorfismo de X que preserva A , es decir, f : X → X es invertible y f(A) = A .

Grupo de simetría de nudos y eslabones.

Si K ⊂ S ³ es un nudo o un vínculo , el grupo de simetría del nudo (resp. vínculo) se define como el grupo de clases de mapeo del par ( S ³ , K ). Se sabe que el grupo de simetría de un nudo hiperbólico es diédrico o cíclico ; además, cada grupo diédrico y cíclico puede realizarse como grupos de simetría de nudos. Se sabe que el grupo de simetría de un nudo toroidal es de orden dos Z ₂ .

grupo torelli

Observe que hay una acción inducida del grupo de clases de mapeo sobre la homología (y cohomología ) del espacio X. Esto se debe a que la (co)homología es functorial y Homeo ₀ actúa de manera trivial (porque todos los elementos son isotópicos, por lo tanto homotópicos a la identidad, que actúa de manera trivial, y la acción sobre la (co)homología es invariante bajo homotopía). El núcleo de esta acción es el grupo de Torelli , llamado así por el teorema de Torelli .

En el caso de superficies orientables, esta es la acción sobre la primera cohomología H ¹ (Σ) ≅ Z ^{2 g} . Los mapas que preservan la orientación son precisamente aquellos que actúan trivialmente sobre la cohomología superior H 2 ⁽ Σ) ≅ Z. H ¹ (Σ) tiene una estructura simpléctica , procedente del producto de copa ; dado que estos mapas son automorfismos y los mapas preservan el producto de la taza, el grupo de clases de mapeo actúa como automorfismos simplécticos y, de hecho, todos los automorfismos simplécticos se realizan, lo que produce la secuencia corta exacta :

${\displaystyle 1\to \operatorname {Tor} (\Sigma )\to \operatorname {MCG} (\Sigma )\to \operatorname {Sp} (H^{1}(\Sigma ))\cong \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbf {Z} )\to 1}$

Se puede extender esto a

${\displaystyle 1\to \operatorname {Tor} (\Sigma )\to \operatorname {MCG} ^{*}(\Sigma )\to \operatorname {Sp} ^{\pm }(H^{1}(\Sigma ))\cong \operatorname {Sp} _{2g}^{\pm }(\mathbf {Z} )\to 1}$

El grupo simpléctico se comprende bien. Por lo tanto, comprender la estructura algebraica del grupo de clases de mapeo a menudo se reduce a preguntas sobre el grupo de Torelli.

Tenga en cuenta que para el toro (género 1) la aplicación al grupo simpléctico es un isomorfismo y el grupo de Torelli desaparece.

Grupo de clases de mapeo estable

Se puede incrustar la superficie del componente límite del género g y 1 colocando un orificio adicional en el extremo (es decir, pegando y ) y, por lo tanto, los automorfismos de la superficie pequeña que fija el límite se extienden a la superficie más grande. Tomando el límite directo de estos grupos e inclusiones se obtiene el grupo de clases de mapeo estable, cuyo anillo de cohomología racional fue conjeturado por David Mumford (una de las conjeturas llamadas conjeturas de Mumford ). El anillo de cohomología integral (no sólo racional) fue calculado en 2002 por Ib Madsen y Michael Weiss , demostrando la conjetura de Mumford. ${\displaystyle \Sigma _{g,1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{g+1,1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{g,1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1,2}}$

Ver también

• Grupos de trenzas , la clase de mapeo de grupos de discos perforados.
• Grupos de homotopía
• Grupos de homeotopía
• Relación de linterna

Referencias

1. Morita, Shigeyuki (1987). "Clases características de haces de superficie". Invenciones Mathematicae . 90 (3): 551–577. Código Bib : 1987 InMat..90..551M. doi :10.1007/bf01389178. SEÑOR  0914849.
2. Earle, Clifford J .; Eells, James (1967), "El grupo de difeomorfismo de una superficie compacta de Riemann", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 73 (4): 557–559, doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11746-4 , SEÑOR  0212840
3. Hatcher, AE (1978). "Espacios de concordancia, teoría de homotopía simple superior y aplicaciones". Topología algebraica y geométrica (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, California, 1976), Parte 1 . Actas de simposios de matemática pura. vol. 32. págs. 3-21. doi :10.1090/pspum/032.1/520490. ISBN 978-0-8218-9320-3. SEÑOR  0520490.
4. Greenberg, León (1974). "Grupos máximos y firmas". Grupos discontinuos y superficies de Riemann: actas de la conferencia de 1973 en la Universidad de Maryland . Anales de estudios de matemáticas. vol. 79. Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 207–226. ISBN 978-1-4008-8164-2. SEÑOR  0379835.
5. Scharlemann, Martín (febrero de 1982). "El complejo de curvas sobre superficies no orientables". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . T2-25 (1): 171–184. CiteSeerX 10.1.1.591.2588 . doi :10.1112/jlms/s2-25.1.171. 
6. Kojima, S. (agosto de 1988). "Transformaciones de isometría de 3 variedades hiperbólicas". Topología y sus aplicaciones . 29 (3): 297–307. doi :10.1016/0166-8641(88)90027-2.

• Birmán, Joan (1974). Trenzas, enlaces y mapeo de grupos de clases . Anales de estudios matemáticos. vol. 82. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . ISBN 978-0691081496. SEÑOR  0375281.
• Casson, Andrés ; Bleiler, Steve (2014) [1988]. Automorfismos de superficies según Nielsen y Thurston. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-299-70610-1.
• Ivanov, Nikolai V. (2001). "9. Mapeo de grupos de clases y grupos aritméticos". Manual de topología geométrica . Elsevier. págs. 618–624. ISBN 978-0-08-053285-1.
• Farb, Benson ; Margalit, Dan (2012). Introducción al mapeo de grupos de clases. Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-14794-9.
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Manual de teoría de Teichmüller. vol. I (PDF) , Conferencias IRMA de Matemáticas y Física Teórica, vol. 11, Sociedad Europea de Matemáticas (EMS), Zúrich, doi :10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, señor  2284826
• Lawton, Sean; Peterson, Elisha (2009), Papadopoulos, Athanase (ed.), Manual de teoría de Teichmüller. vol. II , Conferencias IRMA de Matemáticas y Física Teórica, vol. 13, Sociedad Europea de Matemáticas (EMS), Zürich, arXiv : math/0511271 , doi : 10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, señor  2524085
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2012), Manual de teoría de Teichmüller. vol. III , Conferencias IRMA de Matemáticas y Física Teórica, vol. 17, Sociedad Europea de Matemáticas (EMS), Zúrich, doi :10.4171/103, ISBN 978-3-03719-103-3, señor  2961353
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2014), Manual de teoría de Teichmüller. vol. IV , Conferencias IRMA de Matemáticas y Física Teórica, vol. 19, Sociedad Europea de Matemáticas (EMS), Zúrich, doi :10.4171/117, ISBN 978-3-03719-117-0

Grupo de clases de mapeo estable

• Madsen, Ib ; Weiss, Michael (2007). "El espacio de módulos estables de las superficies de Riemann: conjetura de Mumford". Anales de Matemáticas . 165 (3): 843–941. arXiv : matemáticas/0212321 . CiteSeerX  10.1.1.236.2025 . doi : 10.4007/annals.2007.165.843. JSTOR  20160047. S2CID  119721243.

enlaces externos

• Seminario Madsen-Weiss MCG; muchas referencias