En matemáticas , la topología de baja dimensión es la rama de la topología que estudia las variedades , o más generalmente los espacios topológicos, de cuatro o menos dimensiones . Los temas representativos son la teoría de la estructura de 3-variedades y 4-variedades , la teoría de nudos y los grupos trenzados . Esto puede considerarse como una parte de la topología geométrica . También puede usarse para referirse al estudio de los espacios topológicos de dimensión 1, aunque esto se considera más típicamente parte de la teoría del continuo .
Una serie de avances que comenzaron en la década de 1960 tuvieron el efecto de enfatizar las dimensiones bajas en topología. La solución de Stephen Smale , en 1961, de la conjetura de Poincaré en cinco o más dimensiones hizo que las dimensiones tres y cuatro parecieran las más difíciles; y de hecho requirieron nuevos métodos, mientras que la libertad de dimensiones superiores significó que las preguntas podían reducirse a métodos computacionales disponibles en la teoría de la cirugía . La conjetura de geometrización de Thurston , formulada a fines de la década de 1970, ofreció un marco que sugería que la geometría y la topología estaban estrechamente entrelazadas en dimensiones bajas, y la prueba de geometrización de Thurston para las variedades de Haken utilizó una variedad de herramientas de áreas de las matemáticas que anteriormente solo estaban débilmente vinculadas. El descubrimiento de Vaughan Jones del polinomio de Jones a principios de la década de 1980 no solo llevó la teoría de nudos en nuevas direcciones, sino que dio lugar a conexiones aún misteriosas entre la topología de dimensiones bajas y la física matemática . En 2002, Grigori Perelman anunció una prueba de la conjetura de Poincaré tridimensional, utilizando el flujo de Ricci de Richard S. Hamilton , una idea perteneciente al campo del análisis geométrico .
En general, este progreso ha conducido a una mejor integración del campo en el resto de las matemáticas.
Una superficie es una variedad topológica bidimensional . Los ejemplos más conocidos son aquellos que surgen como límites de objetos sólidos en el espacio euclidiano tridimensional ordinario R 3 —por ejemplo, la superficie de una pelota— . Por otro lado, hay superficies, como la botella de Klein , que no pueden ser incorporadas al espacio euclidiano tridimensional sin introducir singularidades o autointersecciones.
El teorema de clasificación de superficies cerradas establece que cualquier superficie cerrada conexa es homeomorfa a algún miembro de una de estas tres familias:
Las superficies de las dos primeras familias son orientables . Es conveniente combinar las dos familias considerando la esfera como la suma conexa de 0 toros. El número g de toros involucrados se denomina género de la superficie. La esfera y el toro tienen características de Euler 2 y 0, respectivamente, y en general la característica de Euler de la suma conexa de g toros es 2 − 2 g .
Las superficies de la tercera familia no son orientables. La característica de Euler del plano proyectivo real es 1 y, en general, la característica de Euler de la suma conexa de k de ellas es 2 − k .
En matemáticas , el espacio de Teichmüller T X de una superficie topológica (real) X es un espacio que parametriza estructuras complejas en X hasta la acción de homeomorfismos que son isotópicos al homeomorfismo identidad . Cada punto en T X puede considerarse como una clase de isomorfismo de superficies de Riemann 'marcadas' donde una 'marca' es una clase de isotopía de homeomorfismos de X a X . El espacio de Teichmüller es el orbifold de recubrimiento universal del espacio de módulos (de Riemann).
El espacio de Teichmüller tiene una estructura de variedad compleja canónica y una gran cantidad de métricas naturales. El espacio topológico subyacente del espacio de Teichmüller fue estudiado por Fricke, y la métrica de Teichmüller en él fue introducida por Oswald Teichmüller (1940). [1]
En matemáticas , el teorema de uniformización dice que toda superficie de Riemann simplemente conexa es conformemente equivalente a uno de los tres dominios: el disco unitario abierto , el plano complejo o la esfera de Riemann . En particular, admite una métrica riemanniana de curvatura constante . Esto clasifica las superficies riemannianas como elípticas (curvadas positivamente, admitiendo en cambio una métrica constante de curvatura positiva), parabólicas (planas) e hiperbólicas (curvadas negativamente) según su cobertura universal .
El teorema de uniformización es una generalización del teorema de mapeo de Riemann desde subconjuntos abiertos simplemente conexos propios del plano a superficies de Riemann simplemente conexas arbitrarias.
Un espacio topológico X es una 3-variedad si cada punto en X tiene un vecindario que es homeomorfo al 3-espacio euclidiano .
Las categorías topológica, lineal por partes y suave son todas equivalentes en tres dimensiones, por lo que se hace poca distinción entre si estamos tratando, por ejemplo, con 3-variedades topológicas o 3-variedades suaves.
Los fenómenos en tres dimensiones pueden ser sorprendentemente diferentes de los fenómenos en otras dimensiones, por lo que existe una prevalencia de técnicas muy especializadas que no se generalizan a dimensiones mayores que tres. Este papel especial ha llevado al descubrimiento de conexiones estrechas con una diversidad de otros campos, como la teoría de nudos , la teoría de grupos geométricos , la geometría hiperbólica , la teoría de números , la teoría de Teichmüller , la teoría cuántica de campos topológicos , la teoría de gauge , la homología de Floer y las ecuaciones diferenciales parciales . La teoría de 3 variedades se considera una parte de la topología de baja dimensión o topología geométrica .
La teoría de nudos es el estudio de los nudos matemáticos . Aunque está inspirada en los nudos que aparecen en la vida cotidiana en los cordones de los zapatos y las cuerdas, el nudo matemático difiere en que los extremos están unidos de modo que no se puede deshacer. En lenguaje matemático, un nudo es una incrustación de un círculo en el espacio euclidiano tridimensional , R 3 (ya que estamos usando topología, un círculo no está ligado al concepto geométrico clásico, sino a todos sus homeomorfismos ). Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro a través de una deformación de R 3 sobre sí mismo (conocida como isotopía ambiental ); estas transformaciones corresponden a manipulaciones de una cuerda anudada que no implican cortar la cuerda o pasar la cuerda a través de sí misma.
Los complementos de nudos son variedades tridimensionales que se estudian con frecuencia. El complemento de nudo de un nudo domesticado K es el espacio tridimensional que rodea al nudo. Para que esto sea más preciso, supongamos que K es un nudo en una variedad tridimensional M (la mayoría de las veces, M es la esfera tridimensional ). Sea N un entorno tubular de K ; por lo tanto, N es un toro sólido . El complemento de nudo es entonces el complemento de N ,
Un tema relacionado es la teoría de trenzas . La teoría de trenzas es una teoría geométrica abstracta que estudia el concepto cotidiano de trenza y algunas generalizaciones. La idea es que las trenzas se pueden organizar en grupos , en los que la operación de grupo es "hacer la primera trenza en un conjunto de cuerdas y luego seguirla con una segunda en las cuerdas retorcidas". Dichos grupos pueden describirse mediante presentaciones explícitas , como lo demostró Emil Artin (1947). [2] Para un tratamiento elemental en esta línea, consulte el artículo sobre grupos de trenzas . A los grupos de trenzas también se les puede dar una interpretación matemática más profunda: como el grupo fundamental de ciertos espacios de configuración .
Una 3-variedad hiperbólica es una 3-variedad dotada de una métrica riemanniana completa de curvatura seccional constante -1. En otras palabras, es el cociente del espacio hiperbólico tridimensional por un subgrupo de isometrías hiperbólicas que actúan libre y adecuadamente de forma discontinua . Véase también modelo kleiniano .
Su descomposición gruesa-delgada tiene una parte delgada que consiste en vecindarios tubulares de geodésicas cerradas y/o extremos que son el producto de una superficie euclidiana y el semirradio cerrado. La variedad es de volumen finito si y solo si su parte gruesa es compacta. En este caso, los extremos tienen la forma de toro que cruza el semirradio cerrado y se denominan cúspides . Los complementos de nudos son las variedades cuspid más estudiadas.
La conjetura de geometrización de Thurston establece que ciertos espacios topológicos tridimensionales tienen cada uno una estructura geométrica única que puede asociarse con ellos. Es un análogo del teorema de uniformización para superficies bidimensionales , que establece que a cada superficie de Riemann simplemente conexa se le puede dar una de tres geometrías ( euclidiana , esférica o hiperbólica ). En tres dimensiones, no siempre es posible asignar una única geometría a un espacio topológico completo. En cambio, la conjetura de geometrización establece que cada 3-variedad cerrada puede descomponerse de manera canónica en piezas que tienen cada una uno de ocho tipos de estructura geométrica. La conjetura fue propuesta por William Thurston (1982), e implica varias otras conjeturas, como la conjetura de Poincaré y la conjetura de eliptización de Thurston . [3]
Una 4-variedad es una variedad topológica de 4 dimensiones . Una 4-variedad lisa es una 4-variedad con una estructura lisa . En dimensión cuatro, en marcado contraste con dimensiones inferiores, las variedades topológicas y lisas son bastante diferentes. Existen algunas 4-variedades topológicas que no admiten una estructura lisa e incluso si existe una estructura lisa, no necesita ser única (es decir, hay 4-variedades lisas que son homeomorfas pero no difeomorfas ).
Las 4-variedades son importantes en física porque, en la Relatividad General , el espacio-tiempo se modela como una 4-variedad pseudo-riemanniana .
Una R 4 exótica es una variedad diferenciable que es homeomorfa pero no difeomorfa al espacio euclidiano R 4 . Los primeros ejemplos fueron encontrados a principios de los años 1980 por Michael Freedman , utilizando el contraste entre los teoremas de Freedman sobre 4-variedades topológicas y los teoremas de Simon Donaldson sobre 4-variedades suaves. [4] Existe un continuo de estructuras diferenciables no difeomorfas de R 4 , como lo demostró por primera vez Clifford Taubes . [5]
Antes de esta construcción, ya se sabía que existían estructuras lisas no difeomorfas sobre esferas (esferas exóticas ), aunque la cuestión de la existencia de tales estructuras para el caso particular de la 4-esfera permaneció abierta (y sigue abierta hasta el día de hoy). Para cualquier entero positivo n distinto de 4, no hay estructuras lisas exóticas sobre R n ; en otras palabras, si n ≠ 4 entonces cualquier variedad lisa homeomorfa a R n es difeomorfa a R n . [6]
Existen varios teoremas fundamentales sobre variedades que pueden demostrarse mediante métodos de baja dimensión en dimensiones de 3 como máximo, y mediante métodos de alta dimensión completamente diferentes en dimensiones de al menos 5, pero que son falsos en cuatro dimensiones. A continuación se ofrecen algunos ejemplos:
Hay varios teoremas que, en efecto, establecen que muchas de las herramientas más básicas utilizadas para estudiar variedades de alta dimensión no se aplican a variedades de baja dimensión, como por ejemplo:
El teorema de Steenrod establece que una variedad tridimensional orientable tiene un fibrado tangente trivial . Dicho de otra manera, la única clase característica de una variedad tridimensional es la obstrucción a la orientabilidad.
Toda variedad 3 cerrada es el límite de una variedad 4. Este teorema se debe a varias personas de forma independiente: se deduce del teorema de Dehn - Lickorish a través de una división de Heegaard de la variedad 3. También se deduce del cálculo del anillo de cobordismo de variedades cerradas por parte de René Thom .
Existencia de estructuras lisas exóticas en R 4 . Esto fue observado originalmente por Michael Freedman , basándose en el trabajo de Simon Donaldson y Andrew Casson . Desde entonces, Freedman, Robert Gompf , Clifford Taubes y Laurence Taylor han elaborado este estudio para demostrar que existe un continuo de estructuras lisas no difeomórficas en R 4 . Mientras tanto, se sabe que R n tiene exactamente una estructura lisa hasta el difeomorfismo siempre que n ≠ 4.
