Espacio de configuración (matemáticas)

El espacio de configuración de todos los pares desordenados de puntos del círculo es la franja de Möbius .

En matemáticas , un espacio de configuración es una construcción muy relacionada con los espacios de estados o espacios de fases en física. En física, se utilizan para describir el estado de un sistema completo como un único punto en un espacio de alta dimensión. En matemáticas, se utilizan para describir asignaciones de una colección de puntos a posiciones en un espacio topológico . Más específicamente, los espacios de configuración en matemáticas son ejemplos particulares de espacios de configuración en física en el caso particular de varias partículas que no colisionan.

Definición

Para un espacio topológico y un entero positivo , sea el producto cartesiano de copias de , equipado con la topología del producto . El n.ésimo espacio ^de configuración (ordenado) de es el conjunto de n - tuplas de puntos distintos por pares en : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X):=X^{n}\smallsetminus \{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in X^{n}\mid x_{i}=x_{j}\ {\text{for some }}i\neq j\}.}$^[1]

Este espacio generalmente está dotado de la topología subespacial a partir de la inclusión de en . A veces también se denota , o . ^[2] ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle F(X,n)}$ ${\displaystyle F^{n}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{n}(X)}$

Existe una acción natural del grupo simétrico sobre los puntos dados por ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}\times \operatorname {Conf} _{n}(X)&\longrightarrow \operatorname {Conf} _{n}(X)\\(\sigma ,x)&\longmapsto \sigma (x)=(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\ldots ,x_{\sigma (n)}).\end{aligned}}}$

Esta acción da lugar al enésimo espacio de configuración desordenado ^de X ,

${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(X):=\operatorname {Conf} _{n}(X)/S_{n},}$

que es el espacio orbital de esa acción. La intuición es que esta acción "olvida los nombres de los puntos". El espacio de configuración desordenado a veces se denomina , ^[2] o . La colección de espacios de configuración desordenados en general es el espacio Ran y viene con una topología natural. ${\displaystyle {\mathcal {UC}}^{n}(X)}$ ${\displaystyle B_{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle n}$

Formulaciones alternativas

Para un espacio topológico y un conjunto finito , el espacio de configuración de X con partículas etiquetadas por S es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{S}(X):=\{f\mid f\colon S\hookrightarrow X{\text{ is injective}}\}.}$

Para , define . Entonces el n- ^ésimo espacio de configuración de X es y se denota simplemente . ^[3] ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} :=\{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{\mathbf {n} }(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$

Ejemplos

• El espacio de configuración ordenada de dos puntos en es homeomorfo al producto del espacio tridimensional euclidiano con un círculo, es decir . ^[2] ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(\mathbf {R} ^{2})\cong \mathbf {R} ^{3}\times S^{1}}$
• De manera más general, el espacio de configuración de dos puntos es homotópicamente equivalente a la esfera . ^[4] ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$
• El espacio de configuración de puntos es el espacio de clasificación del grupo trenzado ( ver más abajo). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n}$

Conexión a grupos de trenzas.

El grupo trenzado de n hebras en un espacio topológico conectado X es

${\displaystyle B_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(X)),}$

el grupo fundamental del enésimo espacio de configuración desordenado ^de X . El grupo trenzado puro de n hebras en X es ^[2]

${\displaystyle P_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(X)).}$

Los primeros grupos de trenzas estudiados fueron los grupos de trenzas de Artin . Si bien la definición anterior no es la que dio Emil Artin , Adolf Hurwitz definió implícitamente los grupos de trenzas de Artin como grupos fundamentales de espacios de configuración del plano complejo considerablemente antes de la definición de Artin (en 1891). ^[5] ${\displaystyle B_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2}))}$

De esta definición y del hecho de que y son espacios de tipo Eilenberg-MacLane , se deduce que el espacio de configuración desordenado del plano es un espacio de clasificación para el grupo trenzado de Artin, y es un espacio de clasificación para el grupo trenzado de Artin puro, cuando ambos se consideran grupos discretos . ^[6] ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$ ${\displaystyle K(\pi ,1)}$ ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$

Espacios de configuración de colectores.

Si el espacio original es una variedad , sus espacios de configuración ordenada son subespacios abiertos de las potencias de y, por tanto, son ellos mismos variedades. El espacio de configuración de distintos puntos desordenados también es una variedad, mientras que el espacio de configuración de puntos desordenados no necesariamente distintos ^{[ se necesita aclaración ] es en cambio un} orbifold . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio de configuración es un tipo de espacio de clasificación o espacio de módulos (finos) . En particular, existe un paquete universal que es un subconjunto del paquete trivial y que tiene la propiedad de que la fibra sobre cada punto es el subconjunto de n elementos clasificados por  p . ${\displaystyle \pi \colon E_{n}\to C_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}\times X\to C_{n}}$ ${\displaystyle p\in C_{n}}$ ${\displaystyle X}$

Invariancia de homotopía

El tipo de homotopía de los espacios de configuración no es invariante de homotopía . Por ejemplo, los espacios no son equivalentes de homotopía para dos valores distintos de : está vacío para , no está conexo para , es un espacio de Eilenberg-MacLane de tipo y simplemente está conexo para . ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathrm {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{0})}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle K(\pi ,1)}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle m\geq 3}$

Solía ​​​​ser una pregunta abierta si había ejemplos de variedades compactas que fueran equivalentes en homotopía pero que tuvieran espacios de configuración no equivalentes en homotopía: un ejemplo de este tipo no fue encontrado hasta 2005 por Riccardo Longoni y Paolo Salvatore. Su ejemplo son dos espacios de lentes tridimensionales y los espacios de configuración de al menos dos puntos en ellos. Que estos espacios de configuración no son equivalentes de homotopía fue detectado por los productos Massey en sus respectivas cubiertas universales. ^[7] La ​​invariancia de homotopía para espacios de configuración de variedades cerradas simplemente conectadas permanece abierta en general y se ha demostrado que se mantiene en el campo base . ^{[8] [9]} También se demostró la invariancia de homotopía real de variedades compactas simplemente conexas con un límite de dimensión simplemente conexo de al menos 4. ^[10] ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Espacios de configuración de gráficos.

Algunos resultados son particulares de los espacios de configuración de gráficos . Este problema puede estar relacionado con la robótica y la planificación del movimiento: uno puede imaginar colocar varios robots sobre vías e intentar llevarlos a diferentes posiciones sin colisionar. Las pistas corresponden a (los bordes de) un gráfico, los robots corresponden a partículas y la navegación exitosa corresponde a una ruta en el espacio de configuración de ese gráfico. ^[11]

Para cualquier gráfico , es un espacio de Eilenberg-MacLane de tipo ^[11] y la deformación fuerte se retrae a un complejo CW de dimensión , donde es el número de vértices de grado al menos 3. ^{[11] [12]} Además, y la deformación se retrae a complejos cúbicos de dimensión no curvados positivamente como máximo . ^{[13] [14]} ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )}$ ${\displaystyle K(\pi ,1)}$ ${\displaystyle b(\Gamma )}$ ${\displaystyle b(\Gamma )}$ ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\Gamma )}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )}$ ${\displaystyle \min(n,b(\Gamma ))}$

Espacios de configuración de enlaces mecánicos.

También se define el espacio de configuración de un enlace mecánico con el gráfico de su geometría subyacente. Comúnmente se supone que un gráfico de este tipo se construye como una concatenación de varillas rígidas y bisagras. El espacio de configuración de tal vínculo se define como la totalidad de todas sus posiciones admisibles en el espacio euclidiano equipadas con una métrica adecuada. El espacio de configuración de un enlace genérico es una variedad suave, por ejemplo, para el enlace plano trivial hecho de varillas rígidas conectadas con juntas de revolución, el espacio de configuración es el n-toro . ^{[15] [16]} El punto de singularidad más simple en tales espacios de configuración es el producto de un cono sobre una hipersuperficie cuadrática homogénea por un espacio euclidiano. Tal punto de singularidad surge para enlaces que se pueden dividir en dos subenlaces de modo que sus respectivos puntos finales de las rutas de seguimiento se cruzan de manera no transversal, por ejemplo, enlaces que pueden alinearse (es decir, plegarse completamente en una línea). ^[17] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{n}}$

Compactificación

El espacio de configuración de distintos puntos no es compacto y tiene extremos donde los puntos tienden a acercarse entre sí (confluir). Muchas aplicaciones geométricas requieren espacios compactos, por lo que a uno le gustaría compactarlo , es decir, incorporarlo como un subconjunto abierto de un espacio compacto con propiedades adecuadas. Raoul Bott y Clifford Taubes , ^[18] así como William Fulton y Robert MacPherson han dado enfoques a este problema . ^[19] ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$

Ver también

• Portal de matemáticas

• Espacio de configuración (física)
• Espacio de estados (física)

Referencias

1. Farber, Michael; Conceder, Mark (2009). "Complejidad topológica de espacios de configuración". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 137 (5): 1841–1847. arXiv : 0806.4111 . doi :10.1090/S0002-9939-08-09808-0. SEÑOR  2470845. S2CID  16188638.
2. Ghrist, Robert (1 de diciembre de 2009). "Configuración de espacios, trenzas y robótica". En Berrick, A. Jon; Cohen, Federico R.; Hanbury, Isabel; Wong, Yan-Loi; Wu, Jie (eds.). Trenzas . Serie de notas de conferencias, Instituto de Ciencias Matemáticas, Universidad Nacional de Singapur. vol. 19. Científico mundial. págs. 263–304. doi :10.1142/9789814291415_0004. ISBN 9789814291408.
3. Chettih, Safia; Lütgehetmann, Daniel (2018). "La homología de espacios de configuración de árboles con bucles". Topología algebraica y geométrica . 18 (4): 2443–2469. arXiv : 1612.08290 . doi :10.2140/agt.2018.18.2443. S2CID  119168700.
4. Sinha, Dev (20 de febrero de 2010). "La homología de los disquetes operad". pag. 2. arXiv : matemáticas/0610236 .
5. Magnus, Wilhelm (1974). "Grupos de trenzas: una encuesta". Actas de la Segunda Conferencia Internacional sobre Teoría de Grupos . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 372. Saltador. pag. 465.doi : 10.1007 /BFb0065203. ISBN 978-3-540-06845-7.
6. Arnold, Vladimir (1969). "El anillo de cohomología del grupo de trenzas de colores". Vladimir I. Arnold - Obras completas (en ruso). vol. 5. Traducido por Victor Vassiliev . págs. 227-231. doi :10.1007/978-3-642-31031-7_18. ISBN 978-3-642-31030-0. ISSN  0025-567X. SEÑOR  0242196. S2CID  122699084.
7. Salvatore, Paolo; Longoni, Riccardo (2005), "Los espacios de configuración no son invariantes de homotopía", Topología , 44 (2): 375–380, arXiv : math/0401075 , doi :10.1016/j.top.2004.11.002, S2CID  15874513
8. Campos, Ricardo; Willwacher, Thomas (2023). "Un modelo para espacios de configuración de puntos". Topología algebraica y geométrica . 23 (5): 2029-2106. arXiv : 1604.02043 . doi :10.2140/agt.2023.23.2029.
9. Idrissi, Najib (29 de agosto de 2016). "El modelo Lambrechts-Stanley de espacios de configuración". Invenciones Mathematicae . 216 : 1–68. arXiv : 1608.08054 . Código Bib : 2016arXiv160808054I. doi :10.1007/s00222-018-0842-9. S2CID  102354039.
10. Campos, Ricardo; Idrissi, Najib; Lambrechts, Pascal; Willwacher, Thomas (2 de febrero de 2018). "Configuración de espacios de colectores con límite". arXiv : 1802.00716 [matemáticas.AT].
11. Ghrist, Robert (2001), "Espacios de configuración y grupos de trenzas en gráficos en robótica", Grupos de clases de nudos, trenzas y mapeo: artículos dedicados a Joan S. Birman , AMS/IP Stud. Adv. Matemáticas, vol. 24, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 29–40, arXiv : math/9905023 , MR  1873106
12. Farley, Daniel; Sabalka, Lucas (2005). "Teoría de Morse discreta y grupos de trenzas gráficas". Topología algebraica y geométrica . 5 (3): 1075-1109. arXiv : matemáticas/0410539 . doi :10.2140/agt.2005.5.1075. SEÑOR  2171804. S2CID  119715655.
13. Świątkowski, Jacek (2001). "Estimaciones de dimensión homológica de espacios de configuración de gráficos". Coloquio Mathematicum (en polaco). 89 (1): 69–79. doi : 10,4064/cm89-1-5 . SEÑOR  1853416.
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17. Shvalb, Nir; Blanco, David (2012). "Configuraciones singulares genéricas de enlaces". Topología y sus aplicaciones . 159 (3): 877–890. arXiv : 1112.2334 . doi : 10.1016/j.topol.2011.12.003 .
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