Topología compacta-abierta

En matemáticas , la topología compacta-abierta es una topología definida sobre el conjunto de funciones continuas entre dos espacios topológicos . La topología compacta-abierta es una de las topologías más utilizadas sobre espacios funcionales y se aplica en la teoría de homotopía y el análisis funcional . Fue introducida por Ralph Fox en 1945. ^[1]

Si el codominio de las funciones en consideración tiene una estructura uniforme o una estructura métrica entonces la topología compacta-abierta es la "topología de convergencia uniforme sobre conjuntos compactos ". Es decir, una secuencia de funciones converge en la topología compacta-abierta precisamente cuando converge uniformemente sobre cada subconjunto compacto del dominio . ^[2]

Definición

Sean $X$ e $Y$ dos espacios topológicos , y sea $C (X, Y)$ el conjunto de todas las funciones continuas entre $X$ e $Y$ . Dado un subconjunto compacto $K$ de $X$ y un subconjunto abierto $U$ de $Y$ , sea $V (K, U)$ el conjunto de todas las funciones $f$ $\in$ $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ tales que $f$ $($ $K$ $) \subseteq$ $U$ $.$ En otras palabras, . Entonces la colección de todas esas $V$ $($ $K$ $,$ $U$ $)$ es una subbase para la topología compacta-abierta en $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ . (Esta colección no siempre forma una base para una topología en $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ .) $V(K,U)=C(K,U)\times _{C(K,Y)}C(X,Y)$

Cuando se trabaja en la categoría de espacios compactamente generados , es común modificar esta definición restringiéndola a la subbase formada a partir de aquellos $K$ que son la imagen de un espacio compacto de Hausdorff . Por supuesto, si $X$ es compactamente generado y Hausdorff, esta definición coincide con la anterior. Sin embargo, la definición modificada es crucial si se desea que la categoría conveniente de espacios de Hausdorff débiles compactamente generados sea cartesianamente cerrada , entre otras propiedades útiles. ^[3]^[4]^[5] La confusión entre esta definición y la anterior se debe al diferente uso de la palabra compacto .

Si $X$ es localmente compacto, entonces de la categoría de espacios topológicos siempre tiene un adjunto derecho . Este adjunto coincide con la topología compacta-abierta y puede usarse para definirla de manera única. La modificación de la definición para espacios generados de manera compacta puede verse como tomar el adjunto del producto en la categoría de espacios generados de manera compacta en lugar de la categoría de espacios topológicos, lo que garantiza que el adjunto derecho siempre exista. $X\veces -$ $Hom(X,-)$

Propiedades

Si $*$ es un espacio de un punto, entonces se puede identificar $C (*, Y)$ con $Y$ , y bajo esta identificación la topología compacta-abierta concuerda con la topología en $Y.$ De manera más general, si $X$ es un espacio discreto , entonces $C (X, Y)$ se puede identificar con el producto cartesiano de $| X |$ copias de $Y$ y la topología compacta-abierta concuerda con la topología del producto .
Si $Y$ es $T 0$ , $T 1$ , Hausdorff , regular o Tychonoff , entonces la topología compacta-abierta tiene el axioma de separación correspondiente .
Si $X$ es Hausdorff y $S$ es una subbase para $Y$ , entonces la colección ${V (K, U) : U \in S, K compact}$ es una subbase para la topología compacta-abierta en $C (X, Y)$ . ^[6]
Si $Y$ es un espacio métrico (o, de manera más general, un espacio uniforme ), entonces la topología compacta-abierta es igual a la topología de convergencia compacta . En otras palabras, si $Y$ es un espacio métrico, entonces una secuencia ${f n}$ converge a $f$ en la topología compacta-abierta si y solo si para cada subconjunto compacto $K$ de $X$ , ${$ $f$ $n$ $}$ converge uniformemente a $f$ en $K.$ Si $X$ es compacto e $Y$ es un espacio uniforme, entonces la topología compacta-abierta es igual a la topología de convergencia uniforme .
Si $X, Y$ y $Z$ son espacios topológicos, con $Y$ localmente compacto de Hausdorff (o incluso sólo localmente compacto preregular ), entonces la función de composición $C (Y, Z) \times C (X, Y) \to C (X, Z),$ dada por $(f, g) \mapsto f \circ g,$ es continua (aquí a todos los espacios de funciones se les da la topología compacta-abierta y $a C (Y, Z) \times C (X, Y)$ se les da la topología de producto ).
Si $X$ es un espacio de Hausdorff (o preregular) localmente compacto, entonces la función de evaluación $e : C (X, Y) \times X \to Y$ , definida por $e (f, x) = f (x)$ , es continua. Esto puede verse como un caso especial de lo anterior donde $X$ es un espacio de un punto.
Si $X$ es compacto e $Y$ es un espacio métrico con métrica $d$ , entonces la topología compacta-abierta en $C (X, Y)$ es metrizable y una métrica para ella está dada por $e (f, g) = sup {d (f (x), g (x)) : x en X},$ para $f$ $,$ $g$ en $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ . De manera más general, si $X$ es hemicompacto e $Y$ métrico, la topología compacta-abierta es metrizable mediante la construcción enlazada aquí .

Aplicaciones

La topología abierta compacta se puede utilizar para topologiizar los siguientes conjuntos: ^[7]

$\Omega(X,x_{0})=\{f:I\to X:f(0)=f(1)=x_{0}\}$ , el espacio de bucle de en , ${\estilo de visualización X}$ $estilo de visualización x_{0}}$
$E(X,x_{0},x_{1})=\{f:I\to X:f(0)=x_{0}{\text{ y }}f(1)=x_{1}\}$ ,
$E(X,x_{0})=\{f:I\to X:f(0)=x_{0}\}$ .

Además, existe una equivalencia de homotopía entre los espacios . ^[7] Estos espacios topológicos son útiles en la teoría de homotopía porque se pueden utilizar para formar un espacio topológico y un modelo para el tipo de homotopía del conjunto de clases de homotopía de mapas. $C(\Sigma X,Y)\cong C(X,\Omega Y)$ $C(X,Y)$

\pi (X,Y)=\{[f]:X\to Y|f{\text{ es una clase de homotopía}}\}.

Esto se debe a que es el conjunto de componentes de la ruta en , es decir, existe un isomorfismo de conjuntos $\pi(X,Y)$ $C(X,Y)$

\pi(X,Y)\to C(I,C(X,Y))/\sim

¿Dónde está la equivalencia de homotopía? ${\estilo de visualización \sim}$

Funciones diferenciables de Fréchet

Sean $X$ e $Y$ dos espacios de Banach definidos sobre el mismo cuerpo , y sea $C m (U, Y)$ el conjunto de todas las funciones $m$ -continuamente diferenciables según Fréchet desde el subconjunto abierto $U \subseteq X$ hasta $Y$ . La topología compacta-abierta es la topología inicial inducida por las seminormas

p_{K}(f)=\sup \left\{\left\|D^{j}f(x)\right\|\ :\ x\in K,0\leq j\leq m\right\}

donde $D 0 f (x) = f (x)$ , para cada subconjunto compacto $K \subseteq U$ . ^{[ aclaración necesaria ]}

Véase también

Topología de convergencia uniforme
Convergencia uniforme – Modo de convergencia de una secuencia de funciones

Referencias

^ Fox, Ralph H. (1945). "Sobre topologías para espacios funcionales". Boletín de la American Mathematical Society . 51 (6): 429–433. doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08370-0 .
^ Kelley, John L. (1975). Topología general . Springer-Verlag. pág. 230.
^ McCord, MC (1969). "Clasificación de espacios y productos simétricos infinitos". Transacciones de la American Mathematical Society . 146 : 273–298. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251719-4 . JSTOR 1995173.
^ "Un curso conciso en topología algebraica" (PDF) .
^ "Espacios generados de forma compacta" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2016-03-03 . Consultado el 2012-01-14 .
^ Jackson, James R. (1952). "Espacios de aplicaciones en productos topológicos con aplicaciones a la teoría de homotopía" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 3 (2): 327–333. doi : 10.1090/S0002-9939-1952-0047322-4 . JSTOR 2032279.
^ ab Fomenko, Anatoly; Fuchs, Dmitry. Topología homotópica (2.ª ed.). págs. 20–23.

Dugundji, J. (1966). Topología . Allyn y Becon. ASIN B000KWE22K.
O.Ya. Viro, OA Ivanov, VM Kharlamov y N.Yu. Netsvetaev (2007) Libro de texto de problemas sobre topología elemental.
"Topología compacta-abierta". PlanetMath .
Topología y grupoides Sección 5.9 Ronald Brown, 2006