Derivada de Fréchet

Derivada definida en espacios normados

En matemáticas , la derivada de Fréchet es una derivada definida en espacios normados . Lleva el nombre de Maurice Fréchet y se utiliza habitualmente para generalizar la derivada de una función de valor real de una única variable real al caso de una función de valor vectorial de múltiples variables reales, y para definir la derivada funcional que se utiliza ampliamente en el cálculo de variaciones .

En general, extiende la idea de la derivada de funciones reales de una variable real a funciones en espacios normados. La derivada de Fréchet debe contrastarse con la derivada de Gateaux, más general , que es una generalización de la derivada direccional clásica .

La derivada de Fréchet tiene aplicaciones en problemas no lineales en todo el análisis matemático y las ciencias físicas, particularmente en el cálculo de variaciones y gran parte del análisis no lineal y del análisis funcional no lineal .

Definición

Sean y espacios vectoriales normados , y un subconjunto abierto de Una función se llama Fréchet diferenciable en si existe un operador lineal acotado tal que ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U\subseteq V}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle f:U\to W}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle A:V\to W}$ $${\displaystyle \lim _{\|h\|_{V}\to 0}{\frac {\|f(x+h)-f(x)-Ah\|_{W}}{\|h\|_{V}}}=0.}$$

El límite aquí se entiende en el sentido usual de un límite de una función definida en un espacio métrico (ver Funciones en espacios métricos ), usando y como los dos espacios métricos, y la expresión anterior como la función del argumento en Como consecuencia, debe existir para todas las secuencias de elementos distintos de cero de que convergen al vector cero. De manera equivalente, la expansión de primer orden se cumple, en la notación de Landau. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \langle h_{n}\rangle _{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h_{n}\to 0.}$ $${\displaystyle f(x+h)=f(x)+Ah+o(h).}$$

Si existe tal operador, es único, por lo que lo escribimos y lo llamamos derivada de Fréchet de en Una función que es diferenciable de Fréchet para cualquier punto de se dice que es C ¹ si la función es continua ( denota el espacio de todos los operadores lineales acotados desde hasta ). Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que requerir que la función sea continua para cada valor de (lo cual se supone; acotado y continuo son equivalentes). ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle Df(x)=A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle Df:U\to B(V,W);x\mapsto Df(x)}$$ ${\displaystyle B(V,W)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Df(x):V\to W}$ ${\displaystyle x}$

Esta noción de derivada es una generalización de la derivada ordinaria de una función sobre los números reales , ya que las aplicaciones lineales de a son simplemente la multiplicación por un número real. En este caso, la función es ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Df(x)}$ ${\displaystyle t\mapsto f'(x)t.}$

Propiedades

Una función diferenciable en un punto es continua en ese punto.

La diferenciación es una operación lineal en el siguiente sentido: si y son dos mapas que son diferenciables en y es un escalar (un número real o complejo ), entonces la derivada de Fréchet obedece a las siguientes propiedades: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V\to W}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle D(cf)(x)=cDf(x)}$$ $${\displaystyle D(f+g)(x)=Df(x)+Dg(x).}$$

La regla de la cadena también es válida en este contexto: si es diferenciable en y es diferenciable en entonces la composición es diferenciable en y la derivada es la composición de las derivadas: ${\displaystyle f:U\to Y}$ ${\displaystyle x\in U,}$ ${\displaystyle g:Y\to W}$ ${\displaystyle y=f(x),}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle D(g\circ f)(x)=Dg(f(x))\circ Df(x).}$$

Dimensiones finitas

La derivada de Fréchet en espacios de dimensión finita es la derivada habitual. En particular, se representa en coordenadas mediante la matriz jacobiana .

Supongamos que es una función, con un conjunto abierto. Si es Fréchet diferenciable en un punto entonces su derivada es donde denota la matriz jacobiana de en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a\in U,}$ $${\displaystyle {\begin{cases}Df(a):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}\\Df(a)(v)=J_{f}(a)v\end{cases}}}$$ ${\displaystyle J_{f}(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a.}$

Además, las derivadas parciales de están dadas por donde es la base canónica de Dado que la derivada es una función lineal, tenemos para todos los vectores que la derivada direccional de a lo largo está dada por ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)=Df(a)(e_{i})=J_{f}(a)e_{i},}$$ ${\displaystyle \left\{e_{i}\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle h\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle Df(a)(h)=\sum _{i=1}^{n}h_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a).}$$

Si todas las derivadas parciales de existen y son continuas, entonces es diferenciable según Fréchet (y, de hecho, C ¹ ). Lo inverso no es cierto; la función es diferenciable según Fréchet y, sin embargo, no tiene derivadas parciales continuas en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}(x^{2}+y^{2})\sin \left((x^{2}+y^{2})^{-1/2}\right)&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$$ ${\displaystyle (0,0).}$

Ejemplo en dimensiones infinitas

Uno de los ejemplos más simples (no triviales) en dimensiones infinitas es aquel en el que el dominio es un espacio de Hilbert ( ) y la función de interés es la norma. Así que considere ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|:H\to \mathbb {R} .}$

Supongamos primero que Luego afirmamos que la derivada de Fréchet de en es la funcional lineal definida por ${\displaystyle x\neq 0.}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D,}$ $${\displaystyle Dv:=\left\langle v,{\frac {x}{\|x\|}}\right\rangle .}$$

En efecto, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {|\|x+h\|-\|x\|-Dh|}{\|h\|}}&={\frac {|\|x\|\|x+h\|-\langle x,x\rangle -\langle x,h\rangle |}{\|x\|\|h\|}}\\[8pt]&={\frac {|\|x\|\|x+h\|-\langle x,x+h\rangle |}{\|x\|\|h\|}}\\[8pt]&={\frac {|\langle x,x\rangle \langle x+h,x+h\rangle -\langle x,x+h\rangle ^{2}|}{\|x\|\|h\|(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}}\\[8pt]&={\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\langle x,h\rangle ^{2}}{\|x\|\|h\|(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}}\\&{}\end{aligned}}}$$

Utilizando la continuidad de la norma y el producto interno obtenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\|h\|\to 0}{\frac {|\|x+h\|-\|x\|-Dh|}{\|h\|}}&=\lim _{\|h\|\to 0}{\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\langle x,h\rangle ^{2}}{\|x\|\|h\|(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}}\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\lim _{\|h\|\to 0}{\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\langle x,h\rangle ^{2}}{\|h\|}}\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\lim _{\|h\|\to 0}\left(\langle x,x\rangle \|h\|-\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\left(\lim _{\|h\|\to 0}\langle x,x\rangle \|h\|-\lim _{h\to 0}\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\left(0-\lim _{\|h\|\to 0}\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]&=-{\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\left(\lim _{\|h\|\to 0}\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]\end{aligned}}}$$

Como y debido a que la desigualdad de Cauchy-Schwarz está limitada por, entonces todo el límite desaparece. ${\displaystyle \|h\|\to 0,\langle x,h\rangle \to 0}$ $${\displaystyle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle }$$ ${\displaystyle \|x\|}$

Ahora demostramos que la norma no es diferenciable, es decir, no existe ningún funcional lineal acotado tal que el límite en cuestión sea Sea cualquier funcional lineal. El teorema de representación de Riesz nos dice que podría definirse por para algún Consideremos ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Dv=\langle a,v\rangle }$ ${\displaystyle a\in H.}$ $${\displaystyle A(h)={\frac {|\|0+h\|-\|0\|-Dh|}{\|h\|}}=\left|1-\left\langle a,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right|.}$$

Para que la norma sea diferenciable en debemos tener ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \lim _{\|h\|\to 0}A(h)=0.}$$

Demostraremos que esto no es cierto para ningún Si obviamente independientemente de por lo tanto esta no es la derivada. Supongamos que Si tomamos que tiende a cero en la dirección de (es decir, donde ) entonces por lo tanto ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle A(h)=1}$ ${\displaystyle h,}$ ${\displaystyle a\neq 0.}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle h=t\cdot (-a),}$ ${\displaystyle t\to 0^{+}}$ ${\displaystyle A(h)=|1+\|a\||>1>0,}$ $${\displaystyle \lim _{\|h\|\to 0}A(h)\neq 0}$$

(Si tomamos tendiendo a cero en la dirección de incluso veríamos que este límite no existe ya que en este caso obtendríamos ). ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |1-\|a\||}$

El resultado recién obtenido concuerda con los resultados en dimensiones finitas.

Relación con la derivada de Gateaux

Una función se llama Gateaux diferenciable en si tiene una derivada direccional a lo largo de todas las direcciones en Esto significa que existe una función tal que para cualquier vector elegido y donde es del campo escalar asociado con (generalmente, es real ). ^[1] ${\displaystyle f:U\subseteq V\to W}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle g:V\to W}$ $${\displaystyle g(v)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}}$$ ${\displaystyle v\in V,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$

Si Fréchet es diferenciable en también es diferenciable Gateaux allí, y es simplemente el operador lineal ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A=Df(x).}$

Sin embargo, no todas las funciones diferenciables de Gateaux son diferenciables de Fréchet. Esto es análogo al hecho de que la existencia de todas las derivadas direccionales en un punto no garantiza la diferenciabilidad total (o incluso la continuidad) en ese punto. Por ejemplo, la función de valor real de dos variables reales definida por es continua y Gateaux diferenciable en el origen , siendo su derivada en el origen ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$$ ${\displaystyle (0,0)}$ $${\displaystyle g(a,b)={\begin{cases}{\frac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}&(a,b)\neq (0,0)\\0&(a,b)=(0,0)\end{cases}}}$$

La función no es un operador lineal, por lo que esta función no es diferenciable según Fréchet. ${\displaystyle g}$

De manera más general, cualquier función de la forma donde y son las coordenadas polares de es continua y Gateaux diferenciable en si es diferenciable en y pero la derivada de Gateaux es solo lineal y la derivada de Fréchet solo existe si es sinusoidal . ${\displaystyle f(x,y)=g(r)h(\phi ),}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (x,y),}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h(\phi +\pi )=-h(\phi ),}$ ${\displaystyle h}$

En otra situación, la función dada por es diferenciable en Gateaux con su derivada allí siendo para todo que es un operador lineal. Sin embargo, no es continua en (se puede ver al acercarse al origen a lo largo de la curva ) y por lo tanto no puede ser diferenciable en Fréchet en el origen. ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$$ ${\displaystyle (0,0),}$ ${\displaystyle g(a,b)=0}$ ${\displaystyle (a,b),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle \left(t,t^{3}\right)}$ ${\displaystyle f}$

Un ejemplo más sutil es el de una función continua que es diferenciable en el sentido de Gateaux y su derivada en este punto está ahí, lo que también es lineal. Sin embargo, no es diferenciable en el sentido de Fréchet. Si lo fuera, su derivada de Fréchet coincidiría con su derivada en el sentido de Gateaux y, por lo tanto, sería el operador cero ; por lo tanto, el límite tendría que ser cero, mientras que al acercarse al origen a lo largo de la curva se ve que este límite no existe. $${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$$ ${\displaystyle (0,0),}$ ${\displaystyle g(a,b)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A=0}$ $${\displaystyle \lim _{\|h\|_{2}\to 0}{\frac {|f((0,0)+h)-f(0,0)-Ah|}{\|h\|_{2}}}=\lim _{h=(x,y)\to (0,0)}\left|{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}\right|}$$ ${\displaystyle \left(t,t^{2}\right)}$

Estos casos pueden ocurrir porque la definición de la derivada de Gateaux solo requiere que los cocientes de diferencia converjan a lo largo de cada dirección individualmente, sin hacer requisitos sobre las tasas de convergencia para diferentes direcciones. Por lo tanto, para un ε dado, aunque para cada dirección el cociente de diferencia está dentro de ε de su límite en algún entorno del punto dado, estos entornos pueden ser diferentes para diferentes direcciones, y puede haber una secuencia de direcciones para las cuales estos entornos se vuelven arbitrariamente pequeños. Si se elige una secuencia de puntos a lo largo de estas direcciones, el cociente en la definición de la derivada de Fréchet, que considera todas las direcciones a la vez, puede no converger. Por lo tanto, para que una derivada lineal de Gateaux implique la existencia de la derivada de Fréchet, los cocientes de diferencia tienen que converger uniformemente para todas las direcciones.

El siguiente ejemplo sólo funciona en dimensiones infinitas. Sea un espacio de Banach y una función lineal en que es discontinua en (una función lineal discontinua ). Sea ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle f(x)=\|x\|\varphi (x).}$$

Entonces , Gateaux es diferenciable en con derivada. Sin embargo, Fréchet no es diferenciable ya que el límite no existe. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0}\varphi (x)}$$

Derivadas superiores

Si es una función diferenciable en todos los puntos de un subconjunto abierto de se deduce que su derivada es una función de al espacio de todos los operadores lineales acotados de a Esta función también puede tener una derivada, cuya derivada de segundo orden , por la definición de derivada, será una función ${\displaystyle f:U\to W}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V,}$ $${\displaystyle Df:U\to L(V,W)}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle L(V,W)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle D^{2}f:U\to L(V,L(V,W)).}$$

Para facilitar el trabajo con derivadas de segundo orden, el espacio del lado derecho se identifica con el espacio de Banach de todas las aplicaciones bilineales continuas de a Un elemento en se identifica entonces con en tal que para todos ${\displaystyle L^{2}(V\times V,W)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle L(V,L(V,W))}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle L^{2}(V\times V,W)}$ ${\displaystyle x,y\in V,}$ $${\displaystyle \varphi (x)(y)=\psi (x,y).}$$

(Intuitivamente: una función lineal en con lineal en es lo mismo que una función bilineal en y ). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Se puede derivar nuevamente, para obtener la derivada de tercer orden , que en cada punto será una función trilineal , y así sucesivamente. La derivada -ésima será una función que toma valores en el espacio de Banach de funciones multilineales continuas en argumentos de a Recursivamente, una función es veces diferenciable en si es veces diferenciable en y para cada existe una función multilineal continua de argumentos tal que el límite existe uniformemente para en conjuntos acotados en En ese caso, es la derivada s de en $${\displaystyle D^{2}f:U\to L^{2}(V\times V,W)}$$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle D^{n}f:U\to L^{n}(V\times V\times \cdots \times V,W),}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n+1}$ $${\displaystyle \lim _{h_{n+1}\to 0}{\frac {\left\|D^{n}f\left(x+h_{n+1}\right)(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})-D^{n}f(x)(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})-A\left(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n},h_{n+1}\right)\right\|}{\left\|h_{n+1}\right\|}}=0}$$ ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

Además, obviamente podemos identificar un miembro del espacio con un mapa lineal a través de la identificación, viendo así la derivada como un mapa lineal. ${\displaystyle L^{n}\left(V\times V\times \cdots \times V,W\right)}$ ${\displaystyle L\left(\bigotimes _{j=1}^{n}V_{j},W\right)}$ ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=f\left(x_{1}\otimes x_{2}\otimes \cdots \otimes x_{n}\right),}$

Derivadas parciales de Fréchet

En esta sección, ampliamos la noción usual de derivadas parciales que se define para funciones de la forma a funciones cuyos dominios y espacios objetivo son espacios de Banach arbitrarios (reales o complejos) . Para ello, sean y espacios de Banach (sobre el mismo cuerpo de escalares), y sea una función dada, y fijemos un punto Decimos que tiene una i-ésima diferencial parcial en el punto si la función definida por ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$ ${\displaystyle W}$ ${\textstyle f:\prod _{i=1}^{n}V_{i}\to W}$ ${\textstyle a=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)\in \prod _{i=1}^{n}V_{i}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi _{i}:V_{i}\to W}$

$${\displaystyle \varphi _{i}(x)=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x,a_{i+1},\ldots a_{n})}$$es Fréchet diferenciable en el punto (en el sentido descrito anteriormente). En este caso, definimos y llamamos a la i-ésima derivada parcial de en el punto Es importante notar que es una transformación lineal de en Heurísticamente, si tiene una i-ésima diferencial parcial en entonces aproxima linealmente el cambio en la función cuando fijamos todas sus entradas en para y solo variamos la i-ésima entrada. Podemos expresar esto en la notación de Landau como ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \partial _{i}f(a):=D\varphi _{i}(a_{i}),}$ ${\displaystyle \partial _{i}f(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle \partial _{i}f(a)}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle \partial _{i}f(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle j\neq i,}$ $${\displaystyle f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\partial _{i}f(a)(h)+o(h).}$$

Generalización a espacios vectoriales topológicos

La noción de derivada de Fréchet se puede generalizar a espacios vectoriales topológicos arbitrarios (TVS) y Sea un subconjunto abierto de que contiene el origen y dada una función tal que primero definamos lo que significa que esta función tenga 0 como su derivada. Decimos que esta función es tangente a 0 si para cada entorno abierto de 0, existe un entorno abierto de 0, y una función tal que y para todo en algún entorno del origen, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:U\to Y}$ ${\displaystyle f(0)=0,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W\subseteq Y}$ ${\displaystyle V\subseteq X}$ ${\displaystyle o:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {o(t)}{t}}=0,}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f(tV)\subseteq o(t)W.}$

Ahora podemos eliminar la restricción de que al definir que es Fréchet diferenciable en un punto si existe un operador lineal continuo tal que considerado como función de es tangente a 0. (Lang p. 6) ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in U}$ ${\displaystyle \lambda :X\to Y}$ ${\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})-\lambda h,}$ ${\displaystyle h,}$

Si la derivada de Fréchet existe, entonces es única. Además, la derivada de Gateaux también debe existir y ser igual a la derivada de Fréchet, ya que para todo donde es la derivada de Fréchet. Una función que es diferenciable de Fréchet en un punto es necesariamente continua allí y las sumas y múltiplos escalares de funciones diferenciables de Fréchet son diferenciables de modo que el espacio de funciones que son diferenciables de Fréchet en un punto forma un subespacio de las funciones que son continuas en ese punto. La regla de la cadena también se cumple, al igual que la regla de Leibniz, siempre que sea un álgebra y un sistema de sucesión transitoria en el que la multiplicación es continua. ${\displaystyle v\in X,}$ $${\displaystyle \lim _{\tau \to 0}{\frac {f(x_{0}+\tau v)-f(x_{0})}{\tau }}=f'(x_{0})v,}$$ ${\displaystyle f'(x_{0})}$ ${\displaystyle Y}$

Véase también

• Derivada direccional  : tasa instantánea de cambio de la función
• Generalizaciones de la derivada  – Construcción fundamental del cálculo diferencial
• Derivada de gradiente de Fréchet  – Derivada multivariante (matemáticas)
• Holomorfía de dimensión infinita
• Función vectorial de dimensión infinita  : función cuyos valores se encuentran en un espacio vectorial de dimensión infinita.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Derivada total  – Tipo de derivada en matemáticas

Notas

1. Es común incluir en la definición que el mapa resultante debe ser un operador lineal continuo . Evitamos adoptar esta convención aquí para permitir el examen de la clase más amplia posible de patologías. ${\displaystyle g}$

Referencias

• Cartan, Henri (1967), Calcul différentiel , París: Hermann, MR  0223194.
• Dieudonné, Jean (1969), Fundamentos del análisis moderno , Boston, MA: Academic Press , MR  0349288.
• Lang, Serge (1995), Variedades diferenciales y riemannianas , Springer , ISBN 0-387-94338-2.
• Munkres, James R. (1991), Análisis de variedades , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-51035-5, Sr.  1079066.
• Previato, Emma , ed. (2003), Diccionario de matemáticas aplicadas para ingenieros y científicos , Diccionario completo de matemáticas, Londres: CRC Press , ISBN 978-1-58488-053-0, Sr.  1966695.
• Coleman, Rodney, ed. (2012), Cálculo en espacios vectoriales normalizados , Universitext, Springer , ISBN 978-1-4614-3894-6.

Enlaces externos

• BA Frigyik, S. Srivastava y MR Gupta, Introducción a las derivadas funcionales , Informe técnico UWEE 2008-0001.
• http://www.probability.net. Esta página web trata principalmente de probabilidad básica y teoría de la medida, pero hay un capítulo interesante sobre la derivada de Frechet en espacios de Banach (capítulo sobre la fórmula jacobiana). Todos los resultados se presentan con pruebas.