En la materia matemática de la teoría de grupos geométricos , una función de vías de tren es una función continua f de un grafo finito conectado consigo mismo, que es una equivalencia de homotopía y que tiene propiedades de cancelación particularmente agradables con respecto a las iteraciones. Esta función envía vértices a vértices y aristas a caminos de aristas no triviales con la propiedad de que para cada arista e del grafo y para cada entero positivo n, la ruta f n ( e ) está inmersa , es decir, f n ( e ) es localmente inyectiva en e . Las funciones de vías de tren son una herramienta clave en el análisis de la dinámica de automorfismos de grupos libres finitamente generados y en el estudio del espacio exterior de Culler - Vogtmann .
Los mapas de vías de tren para automorfismos de grupos libres fueron introducidos en un artículo de 1992 de Bestvina y Handel. [1] La noción fue motivada por las vías de tren de Thurston en superficies, pero el caso de grupo libre es sustancialmente diferente y más complicado. En su artículo de 1992 Bestvina y Handel demostraron que cada automorfismo irreducible de F n tiene un representante de vía de tren. En el mismo artículo introdujeron la noción de una vía de tren relativa y aplicaron métodos de vía de tren para resolver [1] la conjetura de Scott que dice que para cada automorfismo α de un grupo libre finitamente generado F n el subgrupo fijo de α es libre de rango como máximo n . En un artículo posterior [2] Bestvina y Handel aplicaron las técnicas de vía de tren para obtener una prueba efectiva de la clasificación de Thurston de homeomorfismos de superficies compactas (con o sin borde) que dice que cada uno de esos homeomorfismos es, hasta isotopía , reducible, de orden finito o pseudo-anosov .
Desde entonces, las vías del tren se convirtieron en una herramienta estándar en el estudio de las propiedades algebraicas, geométricas y dinámicas de los automorfismos de grupos libres y de subgrupos de Out( F n ). Las vías del tren son particularmente útiles ya que permiten comprender el crecimiento a largo plazo (en términos de longitud) y el comportamiento de cancelación para grandes iteraciones de un automorfismo de F n aplicado a una clase de conjugación particular en F n . Esta información es especialmente útil cuando se estudia la dinámica de la acción de elementos de Out( F n ) en el espacio exterior de Culler-Vogtmann y su frontera y cuando se estudian las acciones de F n en árboles reales . [3] [4] [5] Los ejemplos de aplicaciones de las vías del tren incluyen: un teorema de Brinkmann [6] que prueba que para un automorfismo α de F n el grupo toro de aplicación de α es palabra-hiperbólico si y solo si α no tiene clases de conjugación periódicas; un teorema de Bridson y Groves [7] que establece que para cada automorfismo α de F n el grupo toral de aplicación de α satisface una desigualdad isoperimétrica cuadrática ; una prueba de la solubilidad algorítmica del problema de conjugación para grupos libres por cíclicos; [8] y otros.
Las vías del tren fueron una herramienta clave en la prueba de Bestvina, Feighn y Handel de que el grupo Out( F n ) satisface la alternativa Tits . [9] [10]
La maquinaria de las vías del tren para endomorfismos inyectivos de grupos libres fue desarrollada posteriormente por Dicks y Ventura. [11]
Para un gráfico finito Γ (que aquí se considera un complejo celular unidimensional ), un mapa combinatorio es un mapa continuo.
de tal manera que:
Sea Γ un grafo conexo finito. Una función combinatoria f : Γ → Γ se denomina función de vía de tren si para cada arista e de Γ y cada entero n ≥ 1 la trayectoria de la arista f n ( e ) no contiene trayectorias inversas, es decir, no contiene subtrayectorias de la forma hh −1 donde h es una arista de Γ . En otras palabras, la restricción de f n a e es localmente inyectiva (o una inmersión) para cada arista e y cada n ≥ 1.
Cuando se aplica al caso n = 1, esta definición implica, en particular, que el camino f ( e ) no tiene retrocesos.
Sea F k un grupo libre de rango finito k ≥ 2. Fijemos una base libre A de F k y una identificación de F k con el grupo fundamental de la rosa R k que es una cuña de k círculos correspondientes a los elementos base de A .
Sea φ ∈ Out( F k ) un automorfismo externo de F k .
Un representante topológico de φ es una tripleta ( τ , Γ , f ) donde:
La función τ en la definición anterior se denomina marca y normalmente se suprime cuando se analizan representantes topológicos. Por lo tanto, por abuso de notación, a menudo se dice que en la situación anterior f : Γ → Γ es un representante topológico de φ .
Sea φ ∈ Out( F k ) un automorfismo externo de F k . Un mapa de vías de tren que es un representante topológico de φ se denomina representante de vías de tren de φ .
Sea f : Γ → Γ una función combinatoria. Un giro es un par desordenado e , h de aristas orientadas de Γ (no necesariamente distintas) que tienen un vértice inicial común. Un giro e , h es degenerado si e = h y no degenerado en caso contrario.
Un giro e , h es ilegal si para algún n ≥ 1 los caminos f n ( e ) y f n ( h ) tienen un segmento inicial común no trivial (es decir, comienzan con la misma arista). Un giro es legal si no es ilegal .
Se dice que un camino de arista e 1 ,..., e m contiene giros e i −1 , e i +1 para i = 1,..., m −1.
Una función combinatoria f : Γ → Γ es una función de vías de tren si y sólo si para cada arista e de Γ la trayectoria f ( e ) no contiene giros ilegales.
Sea f : Γ → Γ una función combinatoria y sea E el conjunto de aristas orientadas de Γ . Entonces f determina su función derivada Df : E → E donde para cada arista e Df ( e ) es la arista inicial del camino f ( e ). La función Df se extiende naturalmente a la función Df : T → T donde T es el conjunto de todas las curvas en Γ . Para una curva t dada por un par de aristas e , h , su imagen Df ( t ) es la curva Df ( e ), Df ( h ). Una curva t es legal si y solo si para cada n ≥ 1 la curva ( Df ) n ( t ) es no degenerada. Dado que el conjunto T de curvas es finito, este hecho permite determinar algorítmicamente si una curva dada es legal o no y, por lo tanto, decidir algorítmicamente, dada f , si f es o no una función de vías de tren.
Sea φ el automorfismo de F ( a , b ) dado por φ ( a ) = b , φ ( b ) = ab . Sea Γ la cuña de dos aristas de bucle E a y E b correspondientes a los elementos de base libres a y b , acuñadas en el vértice v . Sea f : Γ → Γ la función que fija v y envía la arista E a a E b y que envía la arista E b al camino de aristas E a E b . Entonces f es una vía de tren representativa de φ .
Se dice que un automorfismo externo φ de F k es reducible si existe una descomposición del producto libre
donde todos los H i son no triviales, donde m ≥ 1 y donde φ permuta las clases de conjugación de H 1 ,..., H m en F k . Se dice que un automorfismo externo φ de F k es irreducible si no es reducible.
Se sabe [1] que φ ∈ Out( F k ) es irreducible si y solo si para cada representante topológico f : Γ → Γ de φ , donde Γ es finito, conexo y sin vértices de grado uno, cualquier subgrafo f -invariante propio de Γ es un bosque.
Bestvina y Handel obtuvieron el siguiente resultado en su artículo de 1992 [1] donde se introdujeron originalmente los mapas de vías ferroviarias:
Sea φ ∈ Out( F k ) irreducible. Entonces existe una vía de tren representativa de φ .
Para un representante topológico f : Γ → Γ de un automorfismo φ de F k la matriz de transición M ( f ) es una matriz r x r (donde r es el número de aristas topológicas de Γ ) donde la entrada m ij es el número de veces que el camino f ( e j ) pasa por la arista e i (en cualquier dirección). Si φ es irreducible, la matriz de transición M ( f ) es irreducible en el sentido del teorema de Perron-Frobenius y tiene un valor propio único de Perron-Frobenius λ ( f ) ≥ 1 que es igual al radio espectral de M ( f ).
Luego se define una serie de movimientos diferentes sobre representantes topológicos de φ que se considera que disminuyen o preservan el valor propio de Perron-Frobenius de la matriz de transición. Estos movimientos incluyen: subdividir una arista; homotopía de valencia uno (eliminar un vértice de grado uno); homotopía de valencia dos (eliminar un vértice de grado dos); colapsar un bosque invariante; y plegar. De estos movimientos, la homotopía de valencia uno siempre redujo el valor propio de Perron-Frobenius.
Partiendo de algún representante topológico f de un automorfismo irreducible φ, se construye algorítmicamente una secuencia de representantes topológicos.
de φ donde f n se obtiene a partir de f n −1 mediante varios movimientos, específicamente elegidos. En esta secuencia, si f n no es una función de vía de tren, entonces los movimientos que producen f n +1 a partir de f n implican necesariamente una secuencia de pliegues seguidos de una homotopía de valencia uno, de modo que el valor propio de Perron-Frobenius de f n +1 es estrictamente menor que el de f n . El proceso está organizado de tal manera que los valores propios de Perron-Frobenius de las funciones f n toman valores en un substeto discreto de . Esto garantiza que el proceso termina en un número finito de pasos y el último término f N de la secuencia es una vía de tren representativa de φ .
Una consecuencia (que requiere argumentos adicionales) del teorema anterior es la siguiente: [1]
A diferencia de lo que ocurre con los elementos de los grupos de clases de mapeo , para un φ ∈ Out( F k ) irreducible, a menudo sucede [12] que
