En matemáticas , específicamente en topología , un mapa pseudo-Anosov es un tipo de difeomorfismo u homeomorfismo de una superficie . Es una generalización de un difeomorfismo lineal de Anosov del toro . Su definición se basa en la noción de foliación medida introducida por William Thurston , quien también acuñó el término "difeomorfismo pseudo-Anosov" cuando demostró su clasificación de los difeomorfismos de una superficie .
Una foliación medida F sobre una superficie cerrada S es una estructura geométrica sobre S que consta de una foliación singular y una medida en dirección transversal. En alguna vecindad de un punto regular de F , hay una "caja de flujo" φ : U → R 2 que envía las hojas de F a las líneas horizontales en R 2 . Si dos de esas vecindades U i y U j se superponen, entonces hay una función de transición φ ij definida en φ j ( U j ), con la propiedad estándar
que debe tener la forma
para alguna constante c . Esto asegura que a lo largo de una curva simple, la variación en la coordenada y, medida localmente en cada gráfico, es una cantidad geométrica (es decir, independiente del gráfico) y permite la definición de una variación total a lo largo de una curva cerrada simple en S. Se permite un número finito de singularidades de F del tipo de " silla de púas ", p ≥3. En un punto tan singular, la estructura diferenciable de la superficie se modifica para convertir el punto en un punto cónico con el ángulo total πp . La noción de difeomorfismo de S se redefine con respecto a esta estructura diferenciable modificada. Con algunas modificaciones técnicas, estas definiciones se extienden al caso de una superficie con límite.
Un homeomorfismo
de una superficie cerrada S se llama pseudo-Anosov si existe un par transversal de foliaciones medidas en S , F s (estable) y Fu ( inestable), y un número real λ > 1 tal que las foliaciones sean preservadas por f y sus medidas transversales se multiplican por 1/ λ y λ . El número λ se llama factor de estiramiento o dilatación de f .
Thurston construyó una compactación del espacio de Teichmüller T ( S ) de una superficie S tal que la acción inducida sobre T ( S ) por cualquier difeomorfismo f de S se extiende a un homeomorfismo de la compactificación de Thurston. La dinámica de este homeomorfismo es más simple cuando f es un mapa pseudo-Anosov: en este caso, hay dos puntos fijos en el límite de Thurston, uno atractivo y otro repelente, y el homeomorfismo se comporta de manera similar a un automorfismo hiperbólico de la mitad de Poincaré. -avión . Un difeomorfismo "genérico" de una superficie del género al menos dos es isotópico del difeomorfismo pseudo-Anosov.
Utilizando la teoría de las vías del tren , la noción de un mapa pseudo-Anosov se ha extendido a automapas de grafos (en el lado topológico) y automorfismos externos de grupos libres (en el lado algebraico). Esto lleva a una clasificación análoga a la de Thurston para el caso de automorfismos de grupos libres, desarrollada por Bestvina y Handel.
