En matemáticas , el teorema de clasificación de Thurston caracteriza los homeomorfismos de una superficie orientable compacta . El teorema de William Thurston completa el trabajo iniciado por Jakob Nielsen (1944).
Dado un homeomorfismo f : S → S , existe una función g isotópica de f tal que se cumple al menos una de las siguientes condiciones:
El caso en el que S es un toro (es decir, una superficie cuyo género es uno) se trata por separado (véase fibrado toroidal ) y se conocía antes del trabajo de Thurston. Si el género de S es dos o mayor, entonces S es naturalmente hiperbólico y las herramientas de la teoría de Teichmüller se vuelven útiles. En lo que sigue, suponemos que S tiene género al menos dos, ya que este es el caso que consideró Thurston. (Obsérvese, sin embargo, que los casos en los que S tiene borde o no es orientable definitivamente siguen siendo de interés).
Los tres tipos de esta clasificación no son mutuamente excluyentes, aunque un homeomorfismo pseudo-Anosov nunca es periódico o reducible . Un homeomorfismo reducible g se puede analizar más a fondo cortando la superficie a lo largo de la unión preservada de curvas cerradas simples Γ . Cada una de las superficies compactas resultantes con borde se ve afectada por alguna potencia (es decir, composición iterada ) de g , y la clasificación se puede aplicar nuevamente a este homeomorfismo.
La clasificación de Thurston se aplica a homeomorfismos de superficies orientables de género ≥ 2, pero el tipo de un homeomorfismo depende únicamente de su elemento asociado del grupo de clases de aplicación Mod(S) . De hecho, la prueba del teorema de clasificación conduce a un representante canónico de cada clase de aplicación con buenas propiedades geométricas. Por ejemplo:
La motivación original de Thurston para desarrollar esta clasificación fue encontrar estructuras geométricas en toros de aplicación del tipo predicho por la conjetura de geometrización . El toro de aplicación M g de un homeomorfismo g de una superficie S es la variedad 3 obtenida de S × [0,1] al unir S × {0} a S × {1} usando g . Si S tiene al menos dos géneros, la estructura geométrica de M g está relacionada con el tipo de g en la clasificación de la siguiente manera:
Los dos primeros casos son comparativamente fáciles, mientras que la existencia de una estructura hiperbólica en el toro de aplicación de un homeomorfismo pseudo-Anosov es un teorema profundo y difícil (también debido a Thurston ). Las 3-variedades hiperbólicas que surgen de esta manera se denominan fibradas porque son fibrados superficiales sobre el círculo , y estas variedades se tratan por separado en la prueba del teorema de geometrización de Thurston para las variedades de Haken . Las 3-variedades hiperbólicas fibradas tienen varias propiedades interesantes y patológicas; por ejemplo, Cannon y Thurston demostraron que el subgrupo de superficies del grupo kleiniano que surge tiene un conjunto límite que es una curva que llena la esfera .
Los tres tipos de homeomorfismos de superficie también están relacionados con la dinámica del grupo de clases de aplicación Mod( S ) en el espacio de Teichmüller T ( S ). Thurston introdujo una compactificación de T ( S ) que es homeomorfa a una bola cerrada, y a la que la acción de Mod( S ) se extiende naturalmente. El tipo de un elemento g del grupo de clases de aplicación en la clasificación de Thurston está relacionado con sus puntos fijos cuando actúa sobre la compactificación de T ( S ):
Esto recuerda la clasificación de las isometrías hiperbólicas en tipos elíptico , parabólico e hiperbólico (que tienen estructuras de punto fijo similares a los tipos periódico , reducible y pseudo-Anosov enumerados anteriormente).