grupo kleiniano

Grupo discreto de transformaciones de Möbius.

En matemáticas , un grupo kleiniano es un subgrupo discreto del grupo de isometrías que conservan la orientación del H ³ hiperbólico de 3 espacios . Este último, identificable con PSL(2,  C ) , es el grupo cociente de las matrices complejas de 2 por 2 del determinante 1 por su centro , que consta de la matriz identidad y su producto por −1 . PSL(2,  C ) tiene una representación natural como transformaciones conformes que preservan la orientación de la esfera de Riemann , y como transformaciones conformes que preservan la orientación de la bola unitaria abierta B ³ en R ³ . El grupo de transformaciones de Möbius también está relacionado como el grupo de isometría que no conserva la orientación de ^H3 , PGL (2,  C ) . Por tanto, un grupo kleiniano puede considerarse como un subgrupo discreto que actúa sobre uno de estos espacios.

Historia

La teoría de los grupos kleinianos generales fue fundada por Felix Klein  (1883) y Henri Poincaré  (1883), quienes los nombraron en honor a Felix Klein . El caso especial de los grupos de Schottky había sido estudiado unos años antes, en 1877, por Schottky.

Definiciones

Una definición moderna de grupo kleiniano es la de un grupo que actúa sobre la bola 3 como un grupo discreto de isometrías hiperbólicas. El 3-espacio hiperbólico tiene un límite natural; en el modelo de bola, esto se puede identificar con las 2 esferas. La llamamos esfera en el infinito y la denotamos por . Una isometría hiperbólica se extiende a un homeomorfismo conforme de la esfera en el infinito (y a la inversa, cada homeomorfismo conforme en la esfera en el infinito se extiende únicamente a una isometría hiperbólica en la pelota por extensión de Poincaré. Es un resultado estándar del análisis complejo que los homeomorfismos conformes en la esfera de Riemann son exactamente las transformaciones de Möbius , que además pueden identificarse como elementos del grupo lineal proyectivo PGL(2, C ). Por lo tanto, un grupo kleiniano también puede definirse como un subgrupo Γ de PGL(2, C ). , se requería que un grupo kleiniano actuara adecuadamente de manera discontinua en un subconjunto abierto no vacío de la esfera de Riemann, pero el uso moderno permite cualquier subgrupo discreto. ${\displaystyle B^{3}}$ ${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$

Cuando Γ es isomorfo al grupo fundamental de una variedad 3 hiperbólica , entonces el espacio cociente H ³ /Γ se convierte en un modelo kleiniano de la variedad. Muchos autores utilizan los términos modelo kleiniano y grupo kleiniano indistintamente, dejando que uno represente al otro. ${\displaystyle \pi _{1}}$

La discreción implica que los puntos en el interior del espacio tridimensional hiperbólico tienen estabilizadores finitos y órbitas discretas bajo el grupo Γ. Por otro lado, la órbita Γ p de un punto p normalmente se acumulará en el límite de la bola cerrada . ${\displaystyle {\bar {B}}^{3}}$

Una junta apolínea es un ejemplo de un conjunto de límites de un grupo kleiniano

El conjunto de puntos de acumulación de Γ p in se denomina conjunto límite de Γ y generalmente se denota como . El complemento se llama dominio de discontinuidad o conjunto ordinario o conjunto regular . El teorema de finitud de Ahlfors implica que si el grupo se genera de forma finita, entonces es un orbifold de superficie de Riemann de tipo finito. ${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$ ${\displaystyle \Lambda (\Gamma )}$ ${\displaystyle \Omega (\Gamma )=S_{\infty }^{2}-\Lambda (\Gamma )}$ ${\displaystyle \Omega (\Gamma )/\Gamma }$

La bola unitaria B ³ con su estructura conforme es el modelo de Poincaré de 3 espacios hiperbólicos . Cuando lo pensamos métricamente, con métrica

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4\,\left|dx\right|^{2}}{\left(1-|x|^{2}\right)^{2}}}}$

es un modelo de espacio hiperbólico tridimensional H ³ . El conjunto de automapas conformes de B ³ se convierte en el conjunto de isometrías (es decir, mapas que preservan la distancia) de H ³ bajo esta identificación. Dichos mapas se restringen a automapas conformes de , que son transformaciones de Möbius . Hay isomorfismos ${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Mob} (S_{\infty }^{2})\cong \operatorname {Conf} (B^{3})\cong \operatorname {Isom} (\mathbf {H} ^{3}).}$

Los subgrupos de estos grupos que consisten en transformaciones que preservan la orientación son todos isomórficos al grupo de matriz proyectiva: PSL(2, C ) a través de la identificación habitual de la esfera unitaria con la línea proyectiva compleja P ¹ ( C ).

Variaciones

Existen algunas variaciones de la definición de grupo kleiniano: a veces se permite que los grupos kleinianos sean subgrupos de PSL(2, C ).2 (es decir, de PSL(2, C ) extendido mediante conjugaciones complejas), en otras palabras, tienen elementos que invierten la orientación y, a veces, se supone que están generados de forma finita y, a veces, se requiere que actúen adecuadamente de forma discontinua en un subconjunto abierto no vacío de la esfera de Riemann.

Tipos

• Se dice que un grupo kleiniano es de tipo finito si su región de discontinuidad tiene un número finito de órbitas de componentes bajo la acción del grupo, y el cociente de cada componente por su estabilizador es una superficie de Riemann compacta con un número finito de puntos eliminados, y el la cobertura se ramifica en un número finito de puntos.
• Un grupo kleiniano se llama finitamente generado si tiene un número finito de generadores. El teorema de finitud de Ahlfors dice que dicho grupo es de tipo finito.
• Un grupo kleiniano Γ tiene covolumen finito si H ³ /Γ tiene volumen finito. Cualquier grupo kleiniano de covolumen finito se genera de forma finita.
• Un grupo kleiniano se llama geométricamente finito si tiene un poliedro fundamental (en un espacio tridimensional hiperbólico) con un número finito de lados. Ahlfors demostró que si el límite establecido no es toda la esfera de Riemann entonces tiene medida 0.
• Un grupo kleiniano Γ se llama aritmética si es conmensurable con los elementos de norma de grupo 1 de un orden de álgebra de cuaterniones A ramificado en todos los lugares reales sobre un campo numérico k con exactamente un lugar complejo. Los grupos aritméticos kleinianos tienen covolumen finito.
• Un grupo kleiniano Γ se llama cocompacto si H ³ /Γ es compacto, o equivalentemente SL(2, C )/Γ es compacto. Los grupos kleinianos cocompactos tienen covolumen finito.
• Un grupo kleiniano se llama topológicamente manso si se genera de forma finita y su variedad hiperbólica es homeomorfa al interior de una variedad compacta con límite.
• Un grupo kleiniano se llama geométricamente manso si sus extremos son geométricamente finitos o simplemente degenerados (Thurston 1980).
• Se dice que un grupo kleiniano es de tipo 1 si el límite establecido es toda la esfera de Riemann, y de tipo 2 en caso contrario.

Ejemplos

• El Maskit atraviesa el espacio de módulos de los grupos kleinianos

grupos bianchi

Un grupo de Bianchi es un grupo kleiniano de la forma PSL(2, O _d ), donde es el anillo de números enteros del campo cuadrático imaginario para un entero positivo sin cuadrados . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$

Grupos kleinianos elementales y reducibles.

Un grupo kleiniano se llama elemental si su conjunto de límites es finito, en cuyo caso el conjunto de límites tiene 0, 1 o 2 puntos. Ejemplos de grupos kleinianos elementales incluyen grupos kleinianos finitos (con un límite vacío establecido) y grupos kleinianos cíclicos infinitos.

Un grupo kleiniano se dice reducible si todos los elementos tienen un punto fijo común en la esfera de Riemann. Los grupos kleinianos reducibles son elementales, pero algunos grupos kleinianos finitos elementales no son reducibles.

grupos fucsia

Cualquier grupo fucsiano (un subgrupo discreto de PSL(2, R )) es un grupo kleiniano y, a la inversa, cualquier grupo kleiniano que conserve la línea real (en su acción sobre la esfera de Riemann) es un grupo fucsiano. De manera más general, todo grupo kleiniano que conserva un círculo o una línea recta en la esfera de Riemann está conjugado con un grupo fucsiano.

Grupos de Koebe

• Un factor de un grupo kleiniano G es un máximo del subgrupo H sujeto a las siguientes propiedades:
  • H tiene un componente invariante simplemente conectado D
  • Un conjugado de un elemento h de H por biyección conforme es parabólico o elíptico si y sólo si h lo es.
  • Cualquier elemento parabólico de G que fije un punto límite de D está en H.
• Un grupo kleiniano se denomina grupo de Koebe si todos sus factores son elementales o fucsianos.

Grupos cuasi-fucsianos

Conjunto de límites de un grupo cuasi-fucsiano

Un grupo kleiniano que conserva una curva de Jordan se denomina grupo cuasi-fucsiano . Cuando la curva de Jordan es un círculo o una línea recta, estos simplemente se conjugan con grupos fucsianos bajo transformaciones conformes. Los grupos cuasi-fucsianos generados finitamente se conjugan con grupos fucsianos bajo transformaciones cuasi-conformes. El límite establecido está contenido en la curva de Jordan invariante, y si es igual a la curva de Jordan el grupo se dice que es de primera clase , y en caso contrario se dice que es de segunda clase .

Grupos Schottky

Sean C _i los círculos límite de una colección finita de discos cerrados disjuntos. El grupo generado por inversión en cada círculo tiene como límite un conjunto de Cantor , y el cociente H ³ / G es un orbifold espejo con un espacio subyacente una bola. Está doblemente cubierto por un asa ; el subgrupo del índice 2 correspondiente es un grupo kleiniano llamado grupo Schottky .

Grupos cristalográficos

Sea T una teselación periódica de 3 espacios hiperbólicos. El grupo de simetrías del teselado es un grupo kleiniano.

Grupos fundamentales de 3 variedades hiperbólicas.

El grupo fundamental de cualquier variedad 3 hiperbólica orientada es un grupo kleiniano. Hay muchos ejemplos de estos, como el complemento de un nudo en forma de 8 o el espacio de Seifert-Weber . Por el contrario, si un grupo kleiniano no tiene elementos de torsión no triviales, entonces es el grupo fundamental de una variedad 3 hiperbólica.

Grupos kleinianos degenerados

Un grupo kleiniano se llama degenerado si no es elemental y su conjunto límite es simplemente conexo. Dichos grupos pueden construirse tomando un límite adecuado de grupos cuasi-fucsianos de modo que uno de los dos componentes de los puntos regulares se contraiga hasta el conjunto vacío; estos grupos se llaman individualmente degenerados . Si ambos componentes del conjunto regular se contraen hasta el conjunto vacío, entonces el conjunto límite se convierte en una curva que llena el espacio y el grupo se llama doblemente degenerado . La existencia de grupos kleinianos degenerados fue mostrada indirectamente por primera vez por Bers (1970), y el primer ejemplo explícito lo encontró Jørgensen. Cannon y Thurston (2007) dieron ejemplos de grupos doblemente degenerados y curvas de relleno de espacio asociadas a mapas pseudo-Anosov .

Ver también

• Conjetura de la medida de Ahlfors
• Teorema de densidad para grupos kleinianos
• Teorema de laminación final
• Teorema de mansedumbre (conjetura de Marden)

Referencias

• Bers, Lipman (1970), "Sobre los límites de los espacios de Teichmüller y sobre los grupos kleinianos. I", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 91 (3): 570–600, doi :10.2307/1970638, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970638 , señor  0297992
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• Fricke, Robert; Klein, Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen (en alemán), Leipzig: BG Teubner., ISBN 978-1-4297-0552-3, JFM  32.0430.01
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• Mumford, David ; Serie, Carolina ; Wright, David (2002), Las perlas de Indra, Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9781107050051.024, ISBN 978-0-521-35253-6, señor  1913879
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• Serie, Caroline (2005), "Un curso intensivo sobre grupos kleinianos", Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Università di Trieste , 37 (1): 1–38, ISSN  0049-4704, MR  2227047, archivado desde el original en 2011-07-22
  • Thurston, William (1980), La geometría y topología de tres variedades, notas de conferencias de Princeton
• Thurston, William P. (1982), "Variedades tridimensionales, grupos kleinianos y geometría hiperbólica", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , Nueva Serie, 6 (3): 357–381, doi : 10.1090/S0273-0979-1982 -15003-0 , ISSN  0002-9904, SEÑOR  0648524

enlaces externos

• Una imagen del conjunto de límites de un grupo cuasi-fucsiano de (Fricke y Klein 1897, p. 418).
• Una imagen del conjunto de límites de un grupo kleiniano de (Fricke y Klein 1897, p. 440). Esta fue una de las primeras imágenes de un límite establecido. Un dibujo por computadora del mismo conjunto de límites.
• Animaciones de conjuntos de límites de grupos kleinianos
• Imágenes relacionadas con grupos kleinianos por McMullen
• Weisstein, Eric W. "Grupo Kleinian". MundoMatemático .