En matemáticas , el espacio de Seifert-Weber (introducido por Herbert Seifert y Constantin Weber) es una 3-variedad hiperbólica cerrada . También se lo conoce como espacio dodecaédrico de Seifert-Weber y espacio dodecaédrico hiperbólico . Es uno de los primeros ejemplos descubiertos de 3-variedades hiperbólicas cerradas.
Se construye pegando cada cara de un dodecaedro a su opuesta de manera que se produzca una variedad tridimensional cerrada. Hay tres formas de hacer este pegado de manera consistente. Las caras opuestas están desalineadas en 1/10 de vuelta, por lo que para que coincidan deben rotarse en 1/10, 3/10 o 5/10 de vuelta; una rotación de 3/10 da el espacio de Seifert-Weber. Una rotación de 1/10 da la esfera de homología de Poincaré y una rotación de 5/10 da el espacio proyectivo real tridimensional .
Con el patrón de pegado de 3/10 de vuelta, las aristas del dodecaedro original se pegan entre sí en grupos de cinco. Por lo tanto, en el espacio de Seifert-Weber, cada arista está rodeada por cinco caras pentagonales, y el ángulo diedro entre estos pentágonos es de 72°. Esto no coincide con el ángulo diedro de 117° de un dodecaedro regular en el espacio euclidiano, pero en el espacio hiperbólico existen dodecaedros regulares con cualquier ángulo diedro entre 60° y 117°, y el dodecaedro hiperbólico con ángulo diedro de 72° puede usarse para dar al espacio de Seifert-Weber una estructura geométrica como una variedad hiperbólica. Es un espacio cociente (de volumen finito) del panal dodecaédrico de orden 5 (de volumen no finito) , una teselación regular del 3-espacio hiperbólico por dodecaedros con este ángulo diedro.
El espacio de Seifert-Weber es una esfera de homología racional y su primer grupo de homología es isomorfo a . William Thurston conjeturó que el espacio de Seifert-Weber no es una variedad de Haken , es decir, no contiene ninguna superficie incompresible; Burton, Rubinstein y Tillmann (2012) demostraron la conjetura con la ayuda de su software informático Regina .
