Grupo Bianchi

Grupo matemático

En matemáticas , un grupo de Bianchi es un grupo de la forma

${\displaystyle PSL_{2}({\mathcal {O}}_{d})}$

donde d es un entero positivo sin cuadrados . Aquí, PSL denota el grupo lineal especial proyectivo y es el anillo de enteros del cuerpo cuadrático imaginario . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$

Los grupos fueron estudiados por primera vez por Bianchi  (1892) como una clase natural de subgrupos discretos de , ahora denominados grupos kleinianos . ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbb {C} )}$

Como subgrupo de , un grupo de Bianchi actúa como isometrías que preservan la orientación del espacio hiperbólico tridimensional . El espacio cociente es un 3-fold hiperbólico no compacto con volumen finito, que también se llama orbifold de Bianchi . Humbert calculó una fórmula exacta para el volumen, en términos de la función zeta de Dedekind del cuerpo base , de la siguiente manera. Sea el discriminante de , y , la acción discontinua sobre , entonces ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$ ${\displaystyle M_{d}=PSL_{2}({\mathcal {O}}_{d})\backslash \mathbb {H} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$ ${\displaystyle \Gamma =SL_{2}({\mathcal {O}}_{d})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \operatorname {vol} (\Gamma \backslash \mathbb {H} )={\frac {|D|^{3/2}}{4\pi ^{2}}}\zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}(2)\ .}$

El conjunto de cúspides de está en biyección con el grupo de clase de . Es bien sabido que todo grupo kleiniano aritmético no compacto es débilmente conmensurable con un grupo de Bianchi. ^[1] ${\displaystyle M_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$

Referencias

1. Maclachlan y Reid (2003) pág. 58

• Bianchi, Luigi (1892). "Sui gruppi di sostituzioni lineari con coeficientes appartenenti a corpi quadratici immaginarî". Annalen Matemáticas . 40 (3). Springer Berlín / Heidelberg: 332–412. doi :10.1007/BF01443558. ISSN  0025-5831. JFM  24.0188.02. S2CID  120341527.
• Elstrodt, Juergen; Grunewald, Fritz; Mennicke, Jens (1998). Grupos que actúan en espacios hiperbólicos . Springer Monographs in Mathematics. Springer Verlag . ISBN. 3-540-62745-6.Zbl 0888.11001  .
• Fine, Benjamin (1989). Teoría algebraica de los grupos de Bianchi. Monografías y libros de texto de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 129. Nueva York: Marcel Dekker Inc. ISBN 978-0-8247-8192-7.MR  1010229.Zbl 0760.20014  .​
• Fine, B. (2001) [1994], "Grupo de Bianchi", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003). La aritmética de las 3 variedades hiperbólicas . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 219. Springer-Verlag . ISBN. 0-387-98386-4.Zbl1025.57001  .​

Enlaces externos

• Allen Hatcher, Bianchi Orbifolds