En matemáticas , la alternativa de Tits , llamada así en honor a Jacques Tits , es un teorema importante sobre la estructura de grupos lineales finitamente generados .
El teorema, demostrado por Tits, [1] se enuncia de la siguiente manera.
Teorema : Sea un grupo lineal finitamente generado sobre un cuerpo. Entonces se dan las dos posibilidades siguientes:
Un grupo lineal no es susceptible si y sólo si contiene un grupo libre no abeliano (por lo tanto, la conjetura de von Neumann , si bien no es cierta en general, es válida para los grupos lineales).
La alternativa de Tits es un ingrediente importante [2] en la demostración del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinómico . De hecho, la alternativa establece esencialmente el resultado para grupos lineales (lo reduce al caso de grupos resolubles, que pueden tratarse por medios elementales).
En la teoría geométrica de grupos , se dice que un grupo G satisface la alternativa de Tits si para cada subgrupo H de G, H es virtualmente resoluble o H contiene un subgrupo libre no abeliano (en algunas versiones de la definición, esta condición solo se requiere que se satisfaga para todos los subgrupos finitamente generados de G ).
Ejemplos de grupos que satisfacen la alternativa Tits que no son lineales, o al menos no se sabe que lo sean, son:
Ejemplos de grupos que no satisfacen la alternativa Tits son:
La prueba de la alternativa original de Tits [1] se realiza observando el cierre de Zariski de en . Si es resoluble, entonces el grupo es resoluble. De lo contrario, se observa la imagen de en el componente de Levi. Si no es compacta, entonces un argumento de ping-pong finaliza la prueba. Si es compacta, entonces todos los valores propios de los elementos en la imagen de son raíces de la unidad y entonces la imagen es finita, o se puede encontrar una incrustación de en la que se puede aplicar la estrategia de ping-pong.
Nótese que la prueba de todas las generalizaciones anteriores también se basa en un argumento de ping-pong.
