Lema del ping-pong

En matemáticas , el lema del ping-pong , o lema del tenis de mesa , es cualquiera de varias afirmaciones matemáticas que garantizan que varios elementos de un grupo que actúan sobre un conjunto generan libremente un subgrupo libre de ese grupo.

Historia

El argumento del ping-pong se remonta a finales del siglo XIX y se atribuye comúnmente ^[1] a Felix Klein , quien lo utilizó para estudiar subgrupos de grupos kleinianos , es decir, de grupos discretos de isometrías del 3-espacio hiperbólico o, equivalentemente, transformaciones de Möbius de la esfera de Riemann . El lema del ping-pong fue una herramienta clave utilizada por Jacques Tits en su artículo de 1972 ^[2] que contiene la prueba de un famoso resultado ahora conocido como la alternativa de Tits . El resultado establece que un grupo lineal finitamente generado es virtualmente solucionable o contiene un subgrupo libre de rango dos. El lema del ping-pong y sus variaciones se utilizan ampliamente en topología geométrica y teoría de grupos geométricos .

Se pueden encontrar versiones modernas del lema del ping-pong en muchos libros, como Lyndon y Schupp, ^[3] de la Harpe, ^[1] Bridson y Haefliger ^[4] y otros.

Declaraciones formales

Lema de ping-pong para varios subgrupos

Esta versión del lema del ping-pong asegura que varios subgrupos de un grupo que actúan sobre un conjunto generan un producto libre . La siguiente afirmación aparece en Olijnyk y Suchchansky (2004), ^[5] y la prueba es de de la Harpe (2000). ^[1]

Sea G un grupo que actúa sobre un conjunto X y sean H ₁ , H ₂ , ..., H _k subgrupos de G donde k ≥ 2, tales que al menos uno de estos subgrupos tiene orden mayor que 2. Supóngase que existen subconjuntos no vacíos disjuntos por pares X ₁ , X ₂ , ..., X _k de X tales que se cumple lo siguiente:

• Para cualquier i ≠ s y para cualquier h en H _i , h ≠ 1 tenemos h ( X _s ) ⊆ X _i .

Entonces $${\displaystyle \langle H_{1},\dots ,H_{k}\rangle =H_{1}\ast \dots \ast H_{k}.}$$

Prueba

Por la definición de producto libre, basta con comprobar que una palabra reducida dada (no vacía) representa un elemento no trivial de . Sea una palabra de longitud , y sea donde para algún . Como es reducido, tenemos para cualquier y cada uno es distinto del elemento identidad de . Entonces, sea que actúe sobre un elemento de uno de los conjuntos . Como suponemos que al menos un subgrupo tiene orden al menos 3, sin pérdida de generalidad podemos suponer que tiene orden al menos 3. Primero hacemos la suposición de que y son ambos 1 (lo que implica ). A partir de aquí, consideramos actuar sobre . Obtenemos la siguiente cadena de contenciones: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle m\geq 2}$ $${\displaystyle w=\prod _{i=1}^{m}w_{i},}$$ ${\textstyle w_{i}\in H_{\alpha _{i}}}$ ${\textstyle \alpha _{i}\in \{1,\dots ,k\}}$ ${\textstyle w}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\neq \alpha _{i+1}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,m-1}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle H_{\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\textstyle X_{i}}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{m}}$ ${\displaystyle m\geq 3}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle X_{2}}$ $${\displaystyle w(X_{2})\subseteq \prod _{i=1}^{m-1}w_{i}(X_{1})\subseteq \prod _{i=1}^{m-2}w_{i}(X_{\alpha _{m-1}})\subseteq \dots \subseteq w_{1}(X_{\alpha _{2}})\subseteq X_{1}.}$$

Suponiendo que los diferentes ' son disjuntos, concluimos que actúa de manera no trivial sobre algún elemento de , por lo tanto representa un elemento no trivial de . ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle G}$

Para finalizar la demostración debemos considerar los tres casos:

• si , entonces sea (tal existe ya que por suposición tiene orden al menos 3); ${\displaystyle \alpha _{1}=1,\,\alpha _{m}\neq 1}$ ${\displaystyle h\in H_{1}\setminus \{w_{1}^{-1},1\}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H_{1}}$
• si , entonces sea ; ${\displaystyle \alpha _{1}\neq 1,\,\alpha _{m}=1}$ ${\displaystyle h\in H_{1}\setminus \{w_{m},1\}}$
• y si , entonces sea . ${\displaystyle \alpha _{1}\neq 1,\,\alpha _{m}\neq 1}$ ${\displaystyle h\in H_{1}\setminus \{1\}}$

En cada caso, después de la reducción se convierte en una palabra reducida con su primera y última letra en . Finalmente, representa un elemento no trivial de , y también lo hace . Esto prueba la afirmación. ${\displaystyle hwh^{-1}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle hwh^{-1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle w}$

El lema del ping-pong para subgrupos cíclicos

Sea G un grupo que actúa sobre un conjunto X. Sean a ₁ , ..., a _k elementos de G de orden infinito , donde k ≥ 2. Supóngase que existen subconjuntos no vacíos disjuntos

X ₁ ⁺ , ..., X _k ⁺ y X ₁ ^– , ..., X _k ^–

de X con las siguientes propiedades:

• a _i ( X − X _i ^– ) ⊆ X _i ⁺ para i = 1, ..., k ;
• a _i ⁻¹ ( X − X _i ⁺ ) ⊆ X _i ^– para i = 1, ..., k .

Entonces el subgrupo H = ⟨ a ₁ , ..., a _k ⟩ ≤ G generado por a ₁ , ..., a _k es libre con base libre { a ₁ , ..., a _k } .

Prueba

Esta afirmación se desprende como corolario de la versión para subgrupos generales si dejamos X _i = X _i ⁺ ∪ X _i ⁻ y dejamos H _i = ⟨ a _i ⟩ .

Ejemplos

Ejemplo de grupo lineal especial

Se puede utilizar el lema del ping-pong para demostrar ^[1] que el subgrupo H = ⟨ A , B ⟩ ≤ SL ₂ ( Z ) , generado por las matrices y está libre de rango dos. $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}}$$

Prueba

De hecho, sean H 1 ₌ ⟨ A ⟩ y H 2 ₌ ⟨ B ⟩ subgrupos cíclicos de SL ₂ ( Z ) generados por A y B en consecuencia. No es difícil comprobar que A y B son elementos de orden infinito en SL ₂ ( Z ) y que y $${\displaystyle H_{1}=\{A^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}=\left\{{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$$ $${\displaystyle H_{2}=\{B^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {Z} \right\}.}$$

Considere la acción estándar de SL ₂ ( Z ) sobre R ² mediante transformaciones lineales . Ponga y $${\displaystyle X_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|>|y|\right\}}$$ $${\displaystyle X_{2}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|<|y|\right\}.}$$

No es difícil comprobar, utilizando las descripciones explícitas anteriores de H ₁ y H ₂ , que para cada g ∈ H ₁ no trivial tenemos g ( X ₂ ) ⊆ X ₁ y que para cada g ∈ H ₂ no trivial tenemos g ( X ₁ ) ⊆ X ₂ . Utilizando la forma alternativa del lema del ping-pong, para dos subgrupos, dados anteriormente, concluimos que H = H ₁  ∗  H ₂ . Puesto que los grupos H ₁ y H ₂ son cíclicos infinitos , se sigue que H es un grupo libre de rango dos.

Ejemplo de grupo hiperbólico de palabras

Sea G un grupo hiperbólico de palabras que no presenta torsión , es decir, que no tiene elementos no idénticos de orden finito . Sean g , h ∈ G dos elementos no conmutativos, es decir, tales que gh ≠ hg . Entonces existe M ≥ 1 tal que para cualesquiera enteros n ≥ M , m ≥ M el subgrupo H = ⟨ g ⁿ , h ^m ⟩ ≤ G está libre de rango dos.

Bosquejo de la prueba^[6]

El grupo G actúa sobre su frontera hiperbólica ∂ G por homeomorfismos . Se sabe que si a en G es un elemento no identidad entonces a tiene exactamente dos puntos fijos distintos, a ^∞ y a ^−∞ en ∂ G y que a ^∞ es un punto fijo que atrae mientras que a ^−∞ es un punto fijo que repele .

Como g y h no conmutan, los hechos básicos sobre los grupos hiperbólicos de palabras implican que g ^∞ , g ^−∞ , h ^∞ y h ^−∞ son cuatro puntos distintos en ∂ G . Tomemos los vecindarios disjuntos U ₊ , U _– , V ₊ y V _– de g ^∞ , g ^−∞ , h ^∞ y h ^−∞ en ∂ G respectivamente. Entonces las propiedades de atracción/repulsión de los puntos fijos de g y h implican que existe M ≥ 1 tal que para cualesquiera enteros n ≥ M , m ≥ M tenemos:

• g ⁿ (∂ G – U _– ) ⊆ U ₊
• g ^{− n} (∂ G – U ₊ ) ⊆ U _–
• h ^m (∂ G – V _– ) ⊆ V ₊
• h ^{− m} (∂ G – V ₊ ) ⊆ V _–

El lema del ping-pong ahora implica que H = ⟨ g ⁿ , h ^m ⟩ ≤ G está libre de rango dos.

Aplicaciones del lema del ping-pong

• El lema del ping-pong se utiliza en los grupos kleinianos para estudiar los llamados subgrupos de Schottky . En el contexto de los grupos kleinianos, el lema del ping-pong se puede utilizar para demostrar que un grupo particular de isometrías del 3-espacio hiperbólico no es solo libre sino también propiamente discontinuo y geométricamente finito .
• Argumentos de tipo Schottky similares se utilizan ampliamente en la teoría de grupos geométricos , particularmente para subgrupos de grupos hiperbólicos de palabras ^[6] y para grupos de automorfismos de árboles. ^[7]
• El lema del ping-pong también se utiliza para estudiar subgrupos de tipo Schottky de grupos de clases de aplicación de superficies de Riemann , donde el conjunto sobre el que actúa el grupo de clases de aplicación es el límite de Thurston del espacio de Teichmüller . ^[8] Un argumento similar también se utiliza en el estudio de subgrupos del grupo de automorfismos externos de un grupo libre. ^[9]
• Una de las aplicaciones más famosas del lema del ping-pong se encuentra en la prueba de Jacques Tits de la llamada alternativa de Tits para grupos lineales . ^[2] (ver también ^[10] para una descripción general de la prueba de Tits y una explicación de las ideas involucradas, incluido el uso del lema del ping-pong).
• Existen generalizaciones del lema del ping-pong que producen no sólo productos libres sino también productos libres amalgamados y extensiones HNN . ^[3] Estas generalizaciones se utilizan, en particular, en la prueba del Teorema de Combinación de Maskit para grupos kleinianos. ^[11]
• También existen versiones del lema del ping-pong que garantizan que varios elementos de un grupo generen un semigrupo libre . Dichas versiones están disponibles tanto en el contexto general de una acción de grupo sobre un conjunto, ^[12] como para tipos específicos de acciones, por ejemplo en el contexto de grupos lineales, ^[13] grupos que actúan sobre árboles ^[14] y otros. ^[15]

Referencias

1. Pierre de la Harpe. Temas de teoría geométrica de grupos. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago. ISBN  0-226-31719-6 ; Cap. II.B "El lema del tenis de mesa (criterio de Klein) y ejemplos de productos libres"; págs. 25–41.
2. J. Tits. Subgrupos libres en grupos lineales. Journal of Algebra , vol. 20 (1972), págs. 250-270
3. Roger C. Lyndon y Paul E. Schupp. Combinatorial Group Theory. Springer-Verlag, Nueva York, 2001. Serie "Classics in Mathematics", reimpresión de la edición de 1977. ISBN 978-3-540-41158-1 ; Cap. II, Sección 12, págs. 167-169 
4. Martin R. Bridson y André Haefliger. Espacios métricos de curvatura no positiva. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 319. Springer-Verlag, Berlín, 1999. ISBN 3-540-64324-9 ; Capítulo III.Γ, págs. 467–468 
5. Andrij Olijnyk y Vitaly Suchchansky. Representaciones de productos libres mediante matrices unitriangulares infinitas sobre cuerpos finitos. International Journal of Algebra and Computation. Vol. 14 (2004), núm. 5-6, págs. 741-749; Lema 2.1
6. M. Gromov. Grupos hiperbólicos. Ensayos sobre teoría de grupos, págs. 75-263, Mathematical Sciences Research Institute Publications, 8, Springer, Nueva York, 1987; ISBN 0-387-96618-8 ; Cap. 8.2, págs. 211-219. 
7. Alexander Lubotzky . Retículos en grupos de Lie de rango uno sobre cuerpos locales. Análisis geométrico y funcional , vol. 1 (1991), núm. 4, págs. 406–431
8. Richard P. Kent y Christopher J. Leininger. Subgrupos de grupos de clases de mapeo desde el punto de vista geométrico. En la tradición de Ahlfors-Bers. IV, págs. 119-141, Contemporary Mathematics series, 432, American Mathematical Society , Providence, RI, 2007; ISBN 978-0-8218-4227-0 ; 0-8218-4227-7 
9. M. Bestvina , M. Feighn y M. Handel. Laminaciones, árboles y automorfismos irreducibles de grupos libres. Análisis geométrico y funcional , vol. 7 (1997), núm. 2, págs. 215–244.
10. Pierre de la Harpe. Grupos libres en grupos lineales. L'Enseignement Mathématique (2), vol. 29 (1983), núm. 1-2, págs. 129-144
11. Bernard Maskit . Grupos kleinianos. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 287. Springer-Verlag, Berlín, 1988. ISBN 3-540-17746-9 ; Cap. VII.C y Cap. VII.E págs. 149–156 y págs. 160–167 
12. Pierre de la Harpe. Temas de teoría geométrica de grupos. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago. ISBN 0-226-31719-6 ; Cap. II.B "El lema del tenis de mesa (criterio de Klein) y ejemplos de productos libres"; págs. 187-188. 
13. Alex Eskin, Shahar Mozes y Hee Oh. Sobre el crecimiento exponencial uniforme para grupos lineales. Inventiones Mathematicae . vol. 60 (2005), núm. 1, pp.1432–1297; Lema 2.2
14. Roger C. Alperin y Guennadi A. Noskov. Crecimiento uniforme, acciones sobre árboles y GL2. Teoría de grupos computacional y estadística: Sesión especial de la AMS sobre teoría de grupos geométricos, 21 y 22 de abril de 2001, Las Vegas, Nevada, Sesión especial de la AMS sobre teoría de grupos computacionales, 28 y 29 de abril de 2001, Hoboken, Nueva Jersey. (Robert H. Gilman, Vladimir Shpilrain, Alexei G. Myasnikov, editores). American Mathematical Society , 2002. ISBN 978-0-8218-3158-8 ; página 2, Lema 3.1 
15. Yves de Cornulier y Romain Tessera. Subsemigrupos libres incrustados de forma cuasiisométrica. Geometry & Topology , vol. 12 (2008), págs. 461–473; Lema 2.1

Véase también

• Grupo libre
• Producto gratuito
• Grupo kleiniano
• Tetas alternativas
• Grupo hiperbólico de palabras
• Grupo Schottky